本文摘要：摘要：提出了幾種組合粒下的粗糙集模型,并將其與單一粒下的粗糙集進行了對比,同時又與粒邏輯運算下的粗糙集模型進行比對,創(chuàng)造性地得到了組合粒、單一粒以及粒邏輯運算下的粗糙集模型之間的關(guān)系。結(jié)果表明,組合粒與粒邏輯運算構(gòu)成了一個鏈結(jié)構(gòu),這為探討基于信
摘要：提出了幾種組合粒下的粗糙集模型,并將其與單一粒下的粗糙集進行了對比,同時又與粒邏輯運算下的粗糙集模型進行比對,創(chuàng)造性地得到了組合粒、單一粒以及粒邏輯運算下的粗糙集模型之間的關(guān)系。結(jié)果表明,組合粒與粒邏輯運算構(gòu)成了一個鏈結(jié)構(gòu),這為探討基于信息粒的知識獲取以及動態(tài)粒的推理奠定了基礎(chǔ)。
關(guān)鍵詞：組合粒;粒邏輯運算;單一粒;粗糙集;電子期刊
引言
粒度計算是由Zadeh[1]于1996年提出,他認為,人類認識主要基于三個主要概念,即粒度、組織和因果。其中粒度計算是一把傘,涵蓋了有關(guān)粒度計算的理論、方法論、技術(shù)和工具的研究,在粗糙集理論、概念格、知識工程、數(shù)據(jù)挖掘、人工智能、機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有潛在的應(yīng)用,已成為信息科學(xué)的研究熱點之一[2]職稱論文。
粗糙集[3]定義為給定關(guān)系上集合的上近似與下近似構(gòu)成的有序?qū)?已被成功地應(yīng)用于機器學(xué)習(xí)、決策分析、過程控制、模式識別和數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域[4]。傳統(tǒng)的粗糙集理論是基于單一粒定義的,即靜態(tài)粒。文獻[5~7]提出了多粒運算下的粗糙集理論模型,即MGRS(multi-granulations rough set,MGRS),并討論了相關(guān)的數(shù)學(xué)性質(zhì)�？紤]到文獻[5~7]中主要討論了集合在粒度P和Q的P+Q、P∩Q運算下的上下近似集合,本文對多粒運算下的粗糙集模型進行了進一步的討論,并將其與單一粒度下的粗糙集模型進行了比較;同時,將多粒運算下的粗糙集模型與組合粒度下的粗糙集模型進行了?比較。
1 相關(guān)概念
本章給出的相關(guān)概念對于后續(xù)部分給出的討論是必要的。
定義1 命題邏輯中,命題P和Q的合取記為P∧Q。P∧Q為真當且僅當P和Q同時為真;命題P和Q的析取記為P∨Q,P∨Q為假當且僅當P和Q同時為假。
定義2 信息系統(tǒng)是一個四元組(U,A,V,f)。其中,U是對象的集合,稱為域(universe);A是用來描述對象的屬性的集合;V是屬性集A的值域; f:U×A→V反映的是某個對象在某個屬性上的取值,信息系統(tǒng)通常略寫為(U,A)。
定義3 給定一個非空的域U,U×U的子集EU×U表示域U上的一個關(guān)系。有序?qū)?U,E)稱為一個近似空間[8](approximation space)。
如果關(guān)系E滿足自反性、對稱性和傳遞性,則E稱為一個等價關(guān)系[9]。等價關(guān)系E對域U可以形成一個劃分,記為U/E�？梢宰C明,等價關(guān)系和劃分是等價的,即給定一個等價關(guān)系,可以構(gòu)造域的劃分;同樣,給定域的一個劃分,可以構(gòu)造域上的一個等價關(guān)系。
信息系統(tǒng)(U,A)中,如果兩個體x,y∈U在屬性a∈A上取值相同,則稱兩者在屬性a上是不可分辨的。如果x,y在集合BA中的每一個屬性b∈B都是不可分辨的,則稱兩者在集合B上是不可分辨的。與x在集合B上不可分辨的所有個體的集合稱為x在集合B上生成的等價類,記為[x]?B,它可以看成是由與x不可分辨的元素構(gòu)成的信息粒[8](information granule)。
定理1 域U上所有元素在集合A上生成的等價類滿足以下三個條件[9]:
a)?x∈U,有[x]?A≠?;
b)?x,y∈U,或者[x]?A=[y]?A成立,或者[x]?A∩[y]?A=?成立;
c)∪x∈U[x]?A=U。
該定理表明,在集合A上生成的所有等價類構(gòu)成了域的一個劃分,這些等價類稱為基本等價類。
定義4 對域U的任一子集XU而言,如果它可以表示成某些等價類的并集,稱x是精確的(或者稱為可定義的),否則稱為粗糙的。如果一個概念XU是粗糙的,則可以用兩個精確定義的集合來近似,分別稱為X的下近似或上近似,記為PX和X,定義如下:
PX=∪[x]?PX[x]?P
X=∪[x]?P∩X≠?[x]?P
其中:[x]?P={y|f(x,P)=f(x,P)}是由x在屬性集P上生成的等價類。顯然有下式成立:
PXXX
定義5 如果集合X是粗糙的,有序?qū)Α碢X,X〉稱為它的粗糙集。該粗糙集的近似質(zhì)量α?P(X)定義如下:
α?P(X)=|PX|/|X|
2 幾種基于粒運算的粗糙集模型
定義6 給定信息系統(tǒng)(U,A),P,QA。假設(shè)由P,Q對域可以構(gòu)造相應(yīng)的劃分為
U/IND(P)={[x?1]?P,[x?2]?P,…,[x|U|]?P}
U/IND(Q)={[x?1]?Q,[x?2]?Q,…,[x|U|]?Q}
則由P和Q構(gòu)成的兩個組合粒定義為
U/IND(P∩Q)={[x?1]?P∩[x?1]?Q,…,[x|U|]?P∩
[x|U|]?Q}(1)
U/IND(P∪Q)={[x?1]?P∪[x?1]?Q,…,[x|U|]?P∪
[x|U|]?Q}(2)
例如信息系統(tǒng)(U,A)中,XU且P,QA。其中U={e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8},X={e?1,e?2,e?5,e?7,e?8}。由P,Q對域形成的劃分分別為
U/IND(P)={{e?1,e?7},{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},{e?8}}
U/IND(Q)={{e?1,e?2},{e?3,e?4,e?5},{e?6,e?7,e?8}}
因此有
U/IND(P∩Q)={{e?1},{e?2},{e?3,e?4,e?5},{e?6},{e?7},{e?8}}
U/IND(P∪Q)={e?1,e?2,e?7},{e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},?{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8},{e?1,e?6,e?7,e?8},{e?8}
定理2 U/IND(P∩Q)形成域的劃分,而U/IND(P∪Q)形成域的覆蓋。
證明 由于等價關(guān)系滿足自反性,對由P,Q構(gòu)造的等價類[x?i]?P和[x?i]?Q,有x?i∈[x?i]?P且x?i∈[x?i]?Q。因此有?∪x?i([x?i]?P∩[x?i]?Q)=∪x?i[x?i]?P∪[x?i]?Q)=U成立,同時有?[x?i]?P∩[x?i]?Q≠?,[x?i]?P∪[x?i]?Q≠?,即U/IND(P∩Q)和U/IND(P∪Q)形成了域的覆蓋。
進一步考慮,如果x?j∈[x?i]?P∩[x?i]?Q,如果x?j≠x?i,則有x?j∈[x?i]?P,x?j∈[x?i]?Q。由于[x?i]?P和[x?i]?Q均是等價類,根據(jù)定理1可得x?i∈[x?j]?P,x?i∈[x?j]?Q成立,即x?i∈[x?i]?P∩[x?i]?Q成立。
如果x?j?[x?i]?P∩[x?i]?Q,則可能有以下三種情況:a)x?j?[x?i]?P,x?j?[x?i]?Q;b)x?j?[x?i]?P,x?j∈[x?i]?Q;c)x?j∈[x?i]?P,x?j?[x?i]?Q。相應(yīng)地,根據(jù)等價類的性質(zhì)可得:a)x?i?[x?j]?P,x?i?[x?j]?Q;b)x?i?[x?j]?P,x?i∈[x?j]?Q;c)x?i∈[x?j]?P,x?j?[x?i]?Q,因此有x?i?[x?j]?P∩[x?j]?Q。
通過上述兩種情況可得,或者[x?i]?P∩[x?i]?Q=[x?j]?P∩[x?j]?Q成立,或者([x?i]?P∩[x?i]?Q)∩([x?j]?P∩[x?j]?Q)=?成立,因此U/IND(P∩Q)構(gòu)成了域的一個劃分。
證畢。
定義7 給定信息系統(tǒng)(U,A),P,QA,XU,定義組合粒下的粗糙集如下:
P∩QX=∪([x]??P∩[x]??Q)X
([x]?P∩[x]?Q)
P∩QX=∪([x]??P∩[x]??Q)∩X≠?
([x]?P∩[x]?Q)
P∪QX=∪([x]??P∩[x]??Q)X
([x]?P∪[x]?Q)
P∪QX=∪([x]??P∩[x]??Q)∩X≠?
([x]?P∪[x]?Q)
文獻[10]中曾經(jīng)定義了粒邏輯運算下的粗糙集模型,如定義8。
定義8 給定信息系統(tǒng)(U,A),P和Q是信息系統(tǒng)的兩個信息粒,則粒邏輯運算下的粗糙集模型定義為
P∧QX=∪{x|([x]?PX)∧([x]?QX)}
P∧QX=∪{x|([x]?P∩X≠?)∧([x]?Q∩X≠?)}
P∨QX=∪{x|([x]?PX)∨([x]?QX)}
P∨QX=∪{x|([x]?P∩X≠?)∨([x]?Q∩X≠?)}
下面將討論組合粒下的粗糙集與單粒下的粗糙集模型之間的關(guān)系以及組合粒下的粗糙集與粒邏輯運算下的粗糙集之間的關(guān)系。
3 單一粒與多粒運算下粗糙集的關(guān)系
筆者已經(jīng)證明了下面的定理。
定理3 給定信息系統(tǒng)(U,A),P,QA,XU,則有
P∧QX=PX∩QX
P∧QX=X∩X
P∨QX=PX∪QX
P∨QX=X∪X
運用本文提出的組合粒,并將其與粒邏輯運算下的粗糙集模型進行進一步比對,可以得到下面的定理。
定理4 給定信息系統(tǒng)(U,A),P,QA,XU則有
PX∩QX?P∩QX
P∩QXX∩X
證明
a)?x∈PX∩QX,根據(jù)定義有[x]?PX且[x]?PX成立,因此有[x]?P∩[x]?QX,即x∈?P∩QX成立。因此有PX∩?QX?P∩QX。
b)?x∈?P∩QX,有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?。由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P,[x]?P∩[x]?Q[x]?Q,有[x]?P∩X≠?并且[x]?Q∩X≠?,因此有x∈X∩X,即P∩QXX∩X。
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控制科技核心期刊 控制理論與應(yīng)用是學(xué)術(shù)核心刊物，1984年創(chuàng)刊，以月刊為發(fā)行周期，適合從事控制理論與應(yīng)用研究的科技人員、高校師生及其他有關(guān)人員訂閱閱讀。
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