本文摘要：雖然數(shù)學(xué)有其抽象的特征，但它也是表現(xiàn)世界的聯(lián)系形式的一部分正是僅僅因為這樣，它才是可以應(yīng)用的。數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀真理�！� 數(shù)學(xué)進展 》(雙月刊)1955年創(chuàng)刊，歷來受到我國數(shù)學(xué)界的重視，獲得了較高的評價，它對促進我國數(shù)學(xué)的發(fā)展
雖然數(shù)學(xué)有其抽象的特征，但它也是“表現(xiàn)世界的聯(lián)系形式的一部分——正是僅僅因為這樣，它才是可以應(yīng)用的。數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀真理�！�數(shù)學(xué)進展》(雙月刊)1955年創(chuàng)刊，歷來受到我國數(shù)學(xué)界的重視，獲得了較高的評價，它對促進我國數(shù)學(xué)的發(fā)展、培養(yǎng)年輕的數(shù)學(xué)工作者、開闊廣大科技工作者的視野，起到了良好的作用。它所發(fā)表的文章，已成為各種學(xué)術(shù)資格(如高級職稱，博士生導(dǎo)師等)評審的有效依據(jù)之一。本刊也受到國際同行的關(guān)注，與不少國家與地區(qū)都有交換。本刊的讀者對象是數(shù)學(xué)研究人員、高校數(shù)學(xué)教師、科技工作者、研究生和高年級學(xué)生。
數(shù)學(xué)是偉大的無產(chǎn)階級革命導(dǎo)師馬克思、恩格斯生前十分喜愛的科學(xué)。馬克思晚年從事數(shù)學(xué)研究達20多年之久，寫過很有價值的數(shù)學(xué)科學(xué)論文。恩格斯在談到由誰來整理出版黑格爾的極為豐富的數(shù)學(xué)手稿時,稱贊馬克思是“對數(shù)學(xué)和哲學(xué)了解到足以勝任這一工作的唯一的人”。拉法格在回憶馬克思時指出：“在高等數(shù)學(xué)中，他(指馬克思)找到最合邏輯的同時又是形式最簡單的辯證運動，他又認(rèn)為，一種科學(xué)只有在成功運用數(shù)學(xué)時，才算真正達到完善的地步。”恩格斯對數(shù)學(xué)也進行了深入的研究和探討，考察和研究了數(shù)學(xué)中的大量哲學(xué)問題。他們對數(shù)學(xué)的來源和本質(zhì)，對數(shù)學(xué)的辯證發(fā)展都作了精辟的論述，對唯心論利用數(shù)學(xué)散布的錯誤觀點作了深刻批判。學(xué)習(xí)和研究馬克思、恩格斯關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)理論，對推動數(shù)理哲學(xué)的研究和發(fā)展及指導(dǎo)當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)改革和數(shù)學(xué)研究都具有重大的意義。文章結(jié)合近代數(shù)學(xué)教育史，指出了馬克思、恩格斯關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)理論對數(shù)學(xué)教學(xué)的指 導(dǎo)作用和現(xiàn)實念義。
恩格斯指出全部哲學(xué)，特別是近代哲學(xué)的重大的基本問題，是思維和存在的關(guān)系問題。”數(shù)學(xué)是研究數(shù)貸關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的基本對象。唯物論和唯心論反映在數(shù)學(xué)上的分歧和斗爭就在于，數(shù)和形是客觀存在的，還是主觀臆造的?數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實世界，還是與現(xiàn)實世界無關(guān)的“自由創(chuàng)造物和想象物”?在唯心論者看來，“數(shù)是上帝創(chuàng)造的”，“數(shù)是萬物之本原”，數(shù)學(xué)不過是“感覺的集合”、“純粹心智的創(chuàng)造”、“純理性思維的產(chǎn)物”等等。按照他們的觀點，數(shù)學(xué)仿佛是獨立于客觀物質(zhì)世界的某個思維王國中的自由樂園。盡管他們之間的意見觀點也有很大分歧，但不_過是對修建這塊自由樂園各有不同的主張與行動規(guī)劃而已，唯心論則是他們共同的思想淵源。
思格斯研究了數(shù)學(xué)與客觀物質(zhì)世界的關(guān)系問題。他在肯定了“純數(shù)學(xué)具有脫離任何個人的特殊經(jīng)驗而獨立的意義”的同時，又明確指出：“在純數(shù)學(xué)中悟性絕對不能只處理自動的創(chuàng)造物和想象物。數(shù)和形的概念不是從其它任何地方,而是從現(xiàn)實世界中得來的。人們曾用來計數(shù)，從而用來作第一次算術(shù)運算的十個指頭，可以是任何別的東西，但是總不能是悟性的自由創(chuàng)造物。……形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是在頭腦中由純粹的思維產(chǎn)生出來的。必須先存在具有一定形狀的物體，把這些形狀加以比較，然后才能構(gòu)成形的概念。純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系,所以是非�，F(xiàn)實的材料。”
抽象的邏輯思維是數(shù)學(xué)研究的主要思維形式。因此，抽象表現(xiàn)為數(shù)學(xué)這門科學(xué)的最基本的特征。唯心主義者則常以此k確切的例證，歪曲抽象的邏輯思維在數(shù)學(xué)中的地位和作用，作為反對唯物主義的工具。他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是從一些先驗的概念和公理出發(fā)，單純用邏輯的方法推演出來的，因此與現(xiàn)實世界是風(fēng)馬牛不相及的。恩格斯深刻地分析了抽象思維在數(shù)學(xué)中的作用,指出這是“一種在考察對象時撇對象的其它一切特性而僅僅顧及到數(shù)目的能力。而這種能力是長期的以經(jīng)驗為依據(jù)的歷史發(fā)展為結(jié)果。”數(shù)學(xué)中的“這些材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界的事實。”從現(xiàn)實世界中抽象出來的數(shù)學(xué)規(guī)律，“在一定的發(fā)展階段上就和現(xiàn)實世界脫離，并.目.怍為某種獨立的東西，作為世界必須適應(yīng)的外來的規(guī)律而與現(xiàn)實世界相對立。”客觀世界中雖然并不存在沒有長寬高的抽象的點，沒有厚度和寬度的抽象的線，沒有厚度的抽象的面，但其原形極其廣泛地存在于客觀世界中，建立在這些抽象化了的概念基礎(chǔ)上的歐氏幾何學(xué)是客觀世界中空間形式規(guī)律性的反映，客觀外界是它產(chǎn)生和完善的根源。
牛頓、萊布尼茲發(fā)明的微積分是數(shù)學(xué)發(fā)展史乃至整個自然科學(xué)發(fā)展史上的®要里程碑。恩格斯熱情地稱贊：”在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣枝看作人類精神的最高勝利了。”伯是在世紀(jì)下半葉和整個18世紀(jì)，微積分理論卻建立在含糊不清的無窮小概念上，牛頓為避免無窮小把導(dǎo)數(shù)當(dāng)作^和叉消朱了的增量比，即rfF和(OT之比。1別紀(jì)英國愛爾蘭大主教貝克萊激烈攻擊微積分，說這些變化率“只不過是消失了的量的鬼魂。”抽象的微積分是“量的鬼魂”，還是對現(xiàn)實世界客觀規(guī)律性的認(rèn)識?馬克思深入地研究了微分學(xué)中的無窮小概念和流數(shù)概念，指出求導(dǎo)數(shù)的“流數(shù)法”是人們“純粹實驗地發(fā)現(xiàn)的”，“全部微分學(xué)本來就產(chǎn)生于求任意一條肋線上任何一點的切線的問題。”©恩格斯也指出：人們還在設(shè)想，微積分是“人類精神的純粹的自由創(chuàng)造物和想象物，而客觀世界決沒有與之相適應(yīng)的東西�？墒乔樾吻∏∠喾�，自然界對這一切想象的數(shù)a都提供了原形。”可見抽象的微積分的產(chǎn)生是有著明顯的實際背景的，而決不是什么“量的鬼魂”。
數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的對象。這無疑是正確的。但是對數(shù)和形的概念的理解不能總是停留在客觀現(xiàn)實的直觀理解上。其實，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)和形的表現(xiàn)呈現(xiàn)出多種多樣的形式和極其復(fù)雜的情況。數(shù)和形的概念不再具有與外界現(xiàn)實直技密切相關(guān)的性質(zhì)，而表現(xiàn)為層次愈來愈高的抽象。人類對自然數(shù)無窮序列的認(rèn)識就經(jīng)歷了不同等級的抽象過程。由具體車物到自然數(shù)概念這是第一級抽象;由具體的a然數(shù)到一般的Q然數(shù)《，這是第二級抽象;從任意有限多個自然數(shù)到自然數(shù)無窮序列這是第三級抽象。卉線在一個方向上有大小，平面在兩個方向上冇大小，而立體在三個方向上有大小,這就是玆'冷上通常所說的一維、二維和三維空間。這是現(xiàn)實物質(zhì)空間性質(zhì)在數(shù)學(xué)上的反映，建立在此第礎(chǔ)上的四維、五維、…n維空問,無限維空間乃至一般的抽象空間——這些曾被不少人看作是“獅頭羊身蛇尾的或半人半馬的妖怪”的數(shù)學(xué)概念，不再直接來源于現(xiàn)實，但它們也足間接地來源于現(xiàn)實的。恩格斯在《自然辯證法>中，從幾何學(xué)的空間概念出發(fā)，從籜術(shù)和代數(shù)學(xué)的數(shù)是出發(fā)，深入地研究和分析了“無限”這個漑念的抽象過程，指出“不僅有一次的無限，而且還有二次的無限，我們的讀者如果髙興的’，還可以用E!己的想象構(gòu)造出無限空間里的次數(shù)更高的無限。”抽象思維的自由創(chuàng)造，是由來0經(jīng)驗的初始m念和原理的有意識的合乎邏輯的發(fā)展。這是不值得奇怪的。
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