本文摘要：雖然數(shù)學有其抽象的特征，但它也是表現(xiàn)世界的聯(lián)系形式的一部分正是僅僅因為這樣，它才是可以應用的。數(shù)學的現(xiàn)實性是不以人的意志為轉移的客觀真理�！� 數(shù)學進展 》(雙月刊)1955年創(chuàng)刊，歷來受到我國數(shù)學界的重視，獲得了較高的評價，它對促進我國數(shù)學的發(fā)展
雖然數(shù)學有其抽象的特征，但它也是“表現(xiàn)世界的聯(lián)系形式的一部分——正是僅僅因為這樣，它才是可以應用的。數(shù)學的現(xiàn)實性是不以人的意志為轉移的客觀真理�！�數(shù)學進展》(雙月刊)1955年創(chuàng)刊，歷來受到我國數(shù)學界的重視，獲得了較高的評價，它對促進我國數(shù)學的發(fā)展、培養(yǎng)年輕的數(shù)學工作者、開闊廣大科技工作者的視野，起到了良好的作用。它所發(fā)表的文章，已成為各種學術資格(如高級職稱，博士生導師等)評審的有效依據(jù)之一。本刊也受到國際同行的關注，與不少國家與地區(qū)都有交換。本刊的讀者對象是數(shù)學研究人員、高校數(shù)學教師、科技工作者、研究生和高年級學生。
數(shù)學是偉大的無產(chǎn)階級革命導師馬克思、恩格斯生前十分喜愛的科學。馬克思晚年從事數(shù)學研究達20多年之久，寫過很有價值的數(shù)學科學論文。恩格斯在談到由誰來整理出版黑格爾的極為豐富的數(shù)學手稿時,稱贊馬克思是“對數(shù)學和哲學了解到足以勝任這一工作的唯一的人”。拉法格在回憶馬克思時指出：“在高等數(shù)學中，他(指馬克思)找到最合邏輯的同時又是形式最簡單的辯證運動，他又認為，一種科學只有在成功運用數(shù)學時，才算真正達到完善的地步。”恩格斯對數(shù)學也進行了深入的研究和探討，考察和研究了數(shù)學中的大量哲學問題。他們對數(shù)學的來源和本質，對數(shù)學的辯證發(fā)展都作了精辟的論述，對唯心論利用數(shù)學散布的錯誤觀點作了深刻批判。學習和研究馬克思、恩格斯關于數(shù)學的哲學理論，對推動數(shù)理哲學的研究和發(fā)展及指導當前的數(shù)學教學改革和數(shù)學研究都具有重大的意義。文章結合近代數(shù)學教育史，指出了馬克思、恩格斯關于數(shù)學的哲學理論對數(shù)學教學的指 導作用和現(xiàn)實念義。
恩格斯指出全部哲學，特別是近代哲學的重大的基本問題，是思維和存在的關系問題。”數(shù)學是研究數(shù)貸關系和空間形式的科學，數(shù)和形是數(shù)學研究的基本對象。唯物論和唯心論反映在數(shù)學上的分歧和斗爭就在于，數(shù)和形是客觀存在的，還是主觀臆造的?數(shù)學來源于現(xiàn)實世界，還是與現(xiàn)實世界無關的“自由創(chuàng)造物和想象物”?在唯心論者看來，“數(shù)是上帝創(chuàng)造的”，“數(shù)是萬物之本原”，數(shù)學不過是“感覺的集合”、“純粹心智的創(chuàng)造”、“純理性思維的產(chǎn)物”等等。按照他們的觀點，數(shù)學仿佛是獨立于客觀物質世界的某個思維王國中的自由樂園。盡管他們之間的意見觀點也有很大分歧，但不_過是對修建這塊自由樂園各有不同的主張與行動規(guī)劃而已，唯心論則是他們共同的思想淵源。
思格斯研究了數(shù)學與客觀物質世界的關系問題。他在肯定了“純數(shù)學具有脫離任何個人的特殊經(jīng)驗而獨立的意義”的同時，又明確指出：“在純數(shù)學中悟性絕對不能只處理自動的創(chuàng)造物和想象物。數(shù)和形的概念不是從其它任何地方,而是從現(xiàn)實世界中得來的。人們曾用來計數(shù)，從而用來作第一次算術運算的十個指頭，可以是任何別的東西，但是總不能是悟性的自由創(chuàng)造物。……形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是在頭腦中由純粹的思維產(chǎn)生出來的。必須先存在具有一定形狀的物體，把這些形狀加以比較，然后才能構成形的概念。純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系,所以是非�，F(xiàn)實的材料。”
抽象的邏輯思維是數(shù)學研究的主要思維形式。因此，抽象表現(xiàn)為數(shù)學這門科學的最基本的特征。唯心主義者則常以此k確切的例證，歪曲抽象的邏輯思維在數(shù)學中的地位和作用，作為反對唯物主義的工具。他們認為數(shù)學是從一些先驗的概念和公理出發(fā)，單純用邏輯的方法推演出來的，因此與現(xiàn)實世界是風馬牛不相及的。恩格斯深刻地分析了抽象思維在數(shù)學中的作用,指出這是“一種在考察對象時撇對象的其它一切特性而僅僅顧及到數(shù)目的能力。而這種能力是長期的以經(jīng)驗為依據(jù)的歷史發(fā)展為結果。”數(shù)學中的“這些材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界的事實。”從現(xiàn)實世界中抽象出來的數(shù)學規(guī)律，“在一定的發(fā)展階段上就和現(xiàn)實世界脫離，并.目.怍為某種獨立的東西，作為世界必須適應的外來的規(guī)律而與現(xiàn)實世界相對立。”客觀世界中雖然并不存在沒有長寬高的抽象的點，沒有厚度和寬度的抽象的線，沒有厚度的抽象的面，但其原形極其廣泛地存在于客觀世界中，建立在這些抽象化了的概念基礎上的歐氏幾何學是客觀世界中空間形式規(guī)律性的反映，客觀外界是它產(chǎn)生和完善的根源。
牛頓、萊布尼茲發(fā)明的微積分是數(shù)學發(fā)展史乃至整個自然科學發(fā)展史上的®要里程碑。恩格斯熱情地稱贊：”在一切理論成就中，未必再有什么象17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣枝看作人類精神的最高勝利了。”伯是在世紀下半葉和整個18世紀，微積分理論卻建立在含糊不清的無窮小概念上，牛頓為避免無窮小把導數(shù)當作^和叉消朱了的增量比，即rfF和(OT之比。1別紀英國愛爾蘭大主教貝克萊激烈攻擊微積分，說這些變化率“只不過是消失了的量的鬼魂。”抽象的微積分是“量的鬼魂”，還是對現(xiàn)實世界客觀規(guī)律性的認識?馬克思深入地研究了微分學中的無窮小概念和流數(shù)概念，指出求導數(shù)的“流數(shù)法”是人們“純粹實驗地發(fā)現(xiàn)的”，“全部微分學本來就產(chǎn)生于求任意一條肋線上任何一點的切線的問題。”©恩格斯也指出：人們還在設想，微積分是“人類精神的純粹的自由創(chuàng)造物和想象物，而客觀世界決沒有與之相適應的東西�？墒乔樾吻∏∠喾�，自然界對這一切想象的數(shù)a都提供了原形。”可見抽象的微積分的產(chǎn)生是有著明顯的實際背景的，而決不是什么“量的鬼魂”。
數(shù)和形是數(shù)學研究的對象。這無疑是正確的。但是對數(shù)和形的概念的理解不能總是停留在客觀現(xiàn)實的直觀理解上。其實，隨著數(shù)學的發(fā)展，數(shù)和形的表現(xiàn)呈現(xiàn)出多種多樣的形式和極其復雜的情況。數(shù)和形的概念不再具有與外界現(xiàn)實直技密切相關的性質，而表現(xiàn)為層次愈來愈高的抽象。人類對自然數(shù)無窮序列的認識就經(jīng)歷了不同等級的抽象過程。由具體車物到自然數(shù)概念這是第一級抽象;由具體的a然數(shù)到一般的Q然數(shù)《，這是第二級抽象;從任意有限多個自然數(shù)到自然數(shù)無窮序列這是第三級抽象。卉線在一個方向上有大小，平面在兩個方向上冇大小，而立體在三個方向上有大小,這就是玆'冷上通常所說的一維、二維和三維空間。這是現(xiàn)實物質空間性質在數(shù)學上的反映，建立在此第礎上的四維、五維、…n維空問,無限維空間乃至一般的抽象空間——這些曾被不少人看作是“獅頭羊身蛇尾的或半人半馬的妖怪”的數(shù)學概念，不再直接來源于現(xiàn)實，但它們也足間接地來源于現(xiàn)實的。恩格斯在《自然辯證法>中，從幾何學的空間概念出發(fā)，從籜術和代數(shù)學的數(shù)是出發(fā)，深入地研究和分析了“無限”這個漑念的抽象過程，指出“不僅有一次的無限，而且還有二次的無限，我們的讀者如果髙興的’，還可以用E!己的想象構造出無限空間里的次數(shù)更高的無限。”抽象思維的自由創(chuàng)造，是由來0經(jīng)驗的初始m念和原理的有意識的合乎邏輯的發(fā)展。這是不值得奇怪的。
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