本文摘要：摘要考慮一類等邊三角形排布的典型磁力擺,基于對其全局動力學(xué)行為的分析,研究初值敏感性現(xiàn)象及其機(jī)制.首先,考慮磁鐵位置可以移動,利用牛頓第二定律建立該磁力擺動力學(xué)模型.進(jìn)而,分析不同的磁鐵位置所對應(yīng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性.在此基礎(chǔ)上,數(shù)值模擬初值敏感
摘要考慮一類等邊三角形排布的典型磁力擺,基于對其全局動力學(xué)行為的分析,研究初值敏感性現(xiàn)象及其機(jī)制.首先,考慮磁鐵位置可以移動,利用牛頓第二定律建立該磁力擺動力學(xué)模型.進(jìn)而,分析不同的磁鐵位置所對應(yīng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性.在此基礎(chǔ)上,數(shù)值模擬初值敏感性現(xiàn)象和不動點(diǎn)吸引域隨磁鐵位置移動的演變規(guī)律.最后,通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn),該類磁力擺普遍存在著多吸引子共存現(xiàn)象,其初值敏感性可歸因于其不動點(diǎn)吸引域的分形,其中各不動點(diǎn)位置與磁鐵中心投影到磁鐵所在平面上位置并不重合,而存在微小的偏差;當(dāng)擺球位置可投影到三個(gè)磁鐵對應(yīng)的等邊三角形的形心時(shí),三個(gè)吸引子的吸引域尺寸相當(dāng),呈中心對稱狀且分形,因此初值敏感性現(xiàn)象很明顯;而移動磁鐵位置則會直接影響到各吸引域的形態(tài),即離擺球平衡位置投影點(diǎn)近的磁鐵對擺球影響最大:離該位置最近的吸引子吸引域會明顯變大,而其它吸引子的吸引域則會被侵蝕消減.本文的研究在磁力擺裝置設(shè)計(jì)方面具有一定的應(yīng)用價(jià)值。
關(guān)鍵詞：磁力擺,初值敏感性,多吸引子,分形吸引域
單擺是最簡單的和最豐富的物理系統(tǒng)之一[1].其中典型磁力擺作為常見的物理實(shí)驗(yàn)裝置[2,3],通常由一個(gè)擺球和若干個(gè)的永磁鐵組成,擺球通過吊線固定,永磁鐵放置在底座上以磁力作用在擺球上[4,5].同時(shí),磁力擺系統(tǒng)也代表了一類含多共存吸引子現(xiàn)象的系統(tǒng)之一,對含多共存吸引子現(xiàn)象的系統(tǒng)研究也是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問題.Marino等[6]通過實(shí)驗(yàn)研究高精度光力學(xué)諧振器中由輻射壓力和光熱效應(yīng)引起的多時(shí)間尺度動力學(xué),闡明該系統(tǒng)存在多共存吸引子現(xiàn)象.楊科利[7]研究了耦合不連續(xù)系統(tǒng)的同步轉(zhuǎn)換過程中的動力學(xué)行為。
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通過計(jì)算耦合不連續(xù)系統(tǒng)的同步序參量和最大李雅普諾夫指數(shù)隨耦合強(qiáng)度的變化,發(fā)現(xiàn)兩類周期吸引子和同步吸引子同時(shí)存在,系統(tǒng)表現(xiàn)出對初值敏感的多共存吸引子現(xiàn)象.Zhang等[8]在Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入非理想磁通控制的憶阻器模型,構(gòu)造了一種具有多個(gè)雙渦卷吸引子的新型憶阻模型,利用理論分析和數(shù)值模擬觀察到該系統(tǒng)多共存吸引子現(xiàn)象.Lai等[9,10]提出一類新的混沌系統(tǒng)。
利用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)闡明該類系統(tǒng)具有無窮多的平衡點(diǎn)和多共存吸引子現(xiàn)象同時(shí),磁力擺代表了一類具有非線性特性和不可預(yù)測性的有趣物理系統(tǒng),其表現(xiàn)出的物理現(xiàn)象和背后的動力學(xué)行為研究一直是學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn).Sanz11通過將磁力擺系統(tǒng)的三個(gè)永磁鐵設(shè)計(jì)為電磁,并在電磁鐵放置基面上設(shè)置超聲波傳感器來測量擺球運(yùn)動的位置,設(shè)計(jì)一種具有多變量、非線性和混沌過程控制的實(shí)驗(yàn)裝置,用于非線性系統(tǒng)的相關(guān)控制研究.
Kraftmakher[12]設(shè)計(jì)一種將兩塊永磁鐵放置在一根薄的鋁棒上,并設(shè)置旋轉(zhuǎn)運(yùn)動傳感器組裝的磁控?cái)[實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),得出該系統(tǒng)可用于研究非線性振蕩和混沌運(yùn)動,改變擺球的設(shè)計(jì)參數(shù)可以使實(shí)驗(yàn)適用范圍更廣.Wijata等[13]設(shè)計(jì)一種單擺在一定角度范圍內(nèi)擺動,下方放置在一塊永磁鐵的磁力擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),通過數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究該單磁擺單側(cè)振蕩具有不同的周期性.Motter等[14]對三個(gè)永磁鐵呈等邊三角形排布的磁力擺裝置進(jìn)行數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究,提出該磁力擺系統(tǒng)擺球不規(guī)則運(yùn)動受瞬態(tài)混沌鞍[15]的瞬態(tài)相互作用的控制,認(rèn)為是瞬態(tài)混沌現(xiàn)象[1618].Khomeriki[19]通過設(shè)計(jì)一種具有磁力驅(qū)動的阻尼驅(qū)動擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),通過數(shù)值模擬研究該系統(tǒng)參數(shù)共振和混沌的存在性及其相互關(guān)系.
同時(shí),對于磁力擺系統(tǒng)表現(xiàn)出來的有趣物理現(xiàn)象背后的動力學(xué)行為,學(xué)者們同樣開展了一些研究.D’Alessio20通過數(shù)值模擬研究三個(gè)永磁鐵呈等邊三角形排布的磁力擺裝置的擺球運(yùn)動軌跡路線,提出該系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性,是演示與“蝴蝶效應(yīng)”[21]相關(guān)聯(lián)和類比天氣預(yù)測的一種簡化系統(tǒng).Mann[22]通過一個(gè)橫向放置的單擺和兩個(gè)磁鐵組成的磁力擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)來研究其動力學(xué)行為,對準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)逃逸準(zhǔn)則進(jìn)行了拓展,得出一個(gè)平衡點(diǎn)的振蕩能克服相鄰的勢壘并逃逸到相鄰的吸引子的閾值準(zhǔn)則.James等[23]通過數(shù)值模擬研究四個(gè)永磁鐵呈正方形排布的磁力擺裝置系統(tǒng),得出該系統(tǒng)擺球復(fù)雜運(yùn)動軌跡與分形有關(guān),并通過估計(jì)分形維數(shù)來研究擺球?qū)Τ跏紬l件的敏感性現(xiàn)象.
從目前的研究進(jìn)展來看,典型磁力擺系統(tǒng)存在初值敏感性行為是公認(rèn)的事實(shí),但是引起該現(xiàn)象機(jī)制的理解尚存在分歧:有些學(xué)者認(rèn)為該現(xiàn)象應(yīng)歸因于混沌或瞬態(tài)混沌,另外一些學(xué)者認(rèn)為該現(xiàn)象源于吸引域分形為此,本文考慮一類磁鐵位置可調(diào)節(jié)的典型磁力擺系統(tǒng),分析其全局動力學(xué)行為,特別是初值敏感性現(xiàn)象的機(jī)制.結(jié)構(gòu)安排如下:首先,對該類磁力擺系統(tǒng)建模;第三節(jié),變換磁鐵位置,分析不同磁鐵分布情況下磁力擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性;第四節(jié),數(shù)值模擬磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象;并在第五節(jié)通過設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該現(xiàn)象;最后,進(jìn)行總結(jié)2磁力擺動力學(xué)簡化模型本文以一類等邊三角形排布的磁力擺為研究對象,其中橫豎支桿作為吊接擺球裝置,小圓盤作為放置三個(gè)永磁鐵裝置,大圓盤設(shè)置有滑槽,配合小圓盤移動永磁鐵位置,U形支座用于校驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置是否水平,磁力擺簡化計(jì)算模型.
在建立磁力擺運(yùn)動數(shù)學(xué)模型方程之前,作出以下三點(diǎn)理想化假設(shè)[24](1)磁力擺吊線的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比磁鐵間的距離長,因此,可以假定擺球是在平面上而不是在較大半徑的球面上運(yùn)動,即保持不變(2)磁鐵是一個(gè)吸引點(diǎn),位于磁鐵放置基底平面上,三個(gè)磁鐵在平面上呈等邊三角形放置,即ABACBC,且每個(gè)磁鐵中心位于等邊三角形頂點(diǎn)上(3)某個(gè)磁鐵作用在擺球上的力與兩者的距離的平方成反比
實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本節(jié)將通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證該磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象.傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法[24]是在磁鐵固定板上涂滿熒光劑,然后在擺球上安裝感光燈,會使熒光劑發(fā)光來跟蹤擺球運(yùn)動軌跡,但熒光劑發(fā)光亮度會受到限制和發(fā)光時(shí)間也有限,得到的實(shí)驗(yàn)軌跡圖效果并不理想.
為此,本實(shí)驗(yàn)采用可調(diào)節(jié)亮度的LED微型信號燈位置粘貼在擺球與吊線連接處,尺寸2mm1mm,質(zhì)量2mg),用攝像機(jī)延時(shí)拍攝功能直接跟蹤擺球上燈光軌跡,從而來直觀記錄下擺球運(yùn)動的軌跡驗(yàn)證初值敏感性現(xiàn)象.由于LED微型信號燈質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于擺球僅相當(dāng)于擺球質(zhì)量的04),因此忽略其質(zhì)量,并不定性影響該系統(tǒng)的動力學(xué)行為.
根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)準(zhǔn)備如下實(shí)驗(yàn)裝置器材:橫向支桿、豎向支桿、緊固支桿螺栓、豎向支桿底座、圓形透明有機(jī)玻璃座、三個(gè)扁平圓柱體釹鐵硼永磁鐵、帶孔擺球、吊線、兩根直徑為0.1mm細(xì)導(dǎo)線、一個(gè)220色環(huán)電阻、一個(gè)調(diào)節(jié)范圍為至550電位器、一個(gè)LED微型信號燈、5V電壓接線、5V電源、攝像機(jī)、三腳支架等. 為了讓攝像機(jī)能夠更好地進(jìn)行捕光工作,將整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置放置在較暗環(huán)境下;同時(shí),為減小實(shí)驗(yàn)效果誤差,將擺球吊線涂成黑色,從而避免反光影響攝像機(jī)捕捉擺球上光軌。
結(jié)論
本文基于對磁鐵位置可調(diào)節(jié)的典型磁力擺為研究對象,建立了無量綱化動力學(xué)運(yùn)動微分方程;改變磁鐵位置,分析七組不同磁鐵位置下磁力擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù),并判斷了每組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性;通過數(shù)值模擬研究磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象及其機(jī)制和不同磁鐵位置對應(yīng)的吸引域演變規(guī)律.最后,通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象.主要得到以下結(jié)論
(1)該磁力擺系統(tǒng)存在三個(gè)共存吸引子,初值敏感性現(xiàn)象歸因于不動點(diǎn)吸引子的吸引域分形,而非混沌(2)每組穩(wěn)定的平衡點(diǎn)即不動點(diǎn)位置與磁鐵中心投影到xy平面上位置并不重合,而存在微小的偏差,偏差與重力恢復(fù)力相關(guān)的彈性系數(shù)和擺球距磁鐵所在平面之間的最小距離這兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)。
(3)當(dāng)擺球可投影到三個(gè)磁鐵對應(yīng)的等邊三角形的形心位置時(shí),三個(gè)磁鐵吸引子的吸引域區(qū)域面積相當(dāng),呈中心對稱狀且分形,初值敏感性現(xiàn)象很明顯。
(4)移動磁鐵位置則會直接影響到三個(gè)磁鐵吸引子的吸引域形態(tài),即離擺球平衡位置投影點(diǎn)近的磁鐵對擺球影響最大,也就是離其最近的吸引子的吸引域會明顯變得越來越大,其它吸引子的吸引域則會被侵蝕消減。
作者：秦波尚慧琳†蔣慧敏
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