本文摘要：摘要考慮一類等邊三角形排布的典型磁力擺,基于對其全局動力學行為的分析,研究初值敏感性現(xiàn)象及其機制.首先,考慮磁鐵位置可以移動,利用牛頓第二定律建立該磁力擺動力學模型.進而,分析不同的磁鐵位置所對應的平衡點個數(shù)及其穩(wěn)定性.在此基礎上,數(shù)值模擬初值敏感
摘要考慮一類等邊三角形排布的典型磁力擺,基于對其全局動力學行為的分析,研究初值敏感性現(xiàn)象及其機制.首先,考慮磁鐵位置可以移動,利用牛頓第二定律建立該磁力擺動力學模型.進而,分析不同的磁鐵位置所對應的平衡點個數(shù)及其穩(wěn)定性.在此基礎上,數(shù)值模擬初值敏感性現(xiàn)象和不動點吸引域隨磁鐵位置移動的演變規(guī)律.最后,通過實驗驗證該現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn),該類磁力擺普遍存在著多吸引子共存現(xiàn)象,其初值敏感性可歸因于其不動點吸引域的分形,其中各不動點位置與磁鐵中心投影到磁鐵所在平面上位置并不重合,而存在微小的偏差;當擺球位置可投影到三個磁鐵對應的等邊三角形的形心時,三個吸引子的吸引域尺寸相當,呈中心對稱狀且分形,因此初值敏感性現(xiàn)象很明顯;而移動磁鐵位置則會直接影響到各吸引域的形態(tài),即離擺球平衡位置投影點近的磁鐵對擺球影響最大:離該位置最近的吸引子吸引域會明顯變大,而其它吸引子的吸引域則會被侵蝕消減.本文的研究在磁力擺裝置設計方面具有一定的應用價值。
關鍵詞：磁力擺,初值敏感性,多吸引子,分形吸引域
單擺是最簡單的和最豐富的物理系統(tǒng)之一[1].其中典型磁力擺作為常見的物理實驗裝置[2,3],通常由一個擺球和若干個的永磁鐵組成,擺球通過吊線固定,永磁鐵放置在底座上以磁力作用在擺球上[4,5].同時,磁力擺系統(tǒng)也代表了一類含多共存吸引子現(xiàn)象的系統(tǒng)之一,對含多共存吸引子現(xiàn)象的系統(tǒng)研究也是學者們研究的熱點問題.Marino等[6]通過實驗研究高精度光力學諧振器中由輻射壓力和光熱效應引起的多時間尺度動力學,闡明該系統(tǒng)存在多共存吸引子現(xiàn)象.楊科利[7]研究了耦合不連續(xù)系統(tǒng)的同步轉換過程中的動力學行為。
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通過計算耦合不連續(xù)系統(tǒng)的同步序參量和最大李雅普諾夫指數(shù)隨耦合強度的變化,發(fā)現(xiàn)兩類周期吸引子和同步吸引子同時存在,系統(tǒng)表現(xiàn)出對初值敏感的多共存吸引子現(xiàn)象.Zhang等[8]在Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡中引入非理想磁通控制的憶阻器模型,構造了一種具有多個雙渦卷吸引子的新型憶阻模型,利用理論分析和數(shù)值模擬觀察到該系統(tǒng)多共存吸引子現(xiàn)象.Lai等[9,10]提出一類新的混沌系統(tǒng)。
利用數(shù)值模擬和實驗闡明該類系統(tǒng)具有無窮多的平衡點和多共存吸引子現(xiàn)象同時,磁力擺代表了一類具有非線性特性和不可預測性的有趣物理系統(tǒng),其表現(xiàn)出的物理現(xiàn)象和背后的動力學行為研究一直是學者們關注的熱點.Sanz11通過將磁力擺系統(tǒng)的三個永磁鐵設計為電磁,并在電磁鐵放置基面上設置超聲波傳感器來測量擺球運動的位置,設計一種具有多變量、非線性和混沌過程控制的實驗裝置,用于非線性系統(tǒng)的相關控制研究.
Kraftmakher[12]設計一種將兩塊永磁鐵放置在一根薄的鋁棒上,并設置旋轉運動傳感器組裝的磁控擺實驗裝置系統(tǒng),得出該系統(tǒng)可用于研究非線性振蕩和混沌運動,改變擺球的設計參數(shù)可以使實驗適用范圍更廣.Wijata等[13]設計一種單擺在一定角度范圍內擺動,下方放置在一塊永磁鐵的磁力擺實驗裝置系統(tǒng),通過數(shù)值模擬和實驗研究該單磁擺單側振蕩具有不同的周期性.Motter等[14]對三個永磁鐵呈等邊三角形排布的磁力擺裝置進行數(shù)值模擬和實驗研究,提出該磁力擺系統(tǒng)擺球不規(guī)則運動受瞬態(tài)混沌鞍[15]的瞬態(tài)相互作用的控制,認為是瞬態(tài)混沌現(xiàn)象[1618].Khomeriki[19]通過設計一種具有磁力驅動的阻尼驅動擺實驗裝置系統(tǒng),通過數(shù)值模擬研究該系統(tǒng)參數(shù)共振和混沌的存在性及其相互關系.
同時,對于磁力擺系統(tǒng)表現(xiàn)出來的有趣物理現(xiàn)象背后的動力學行為,學者們同樣開展了一些研究.D’Alessio20通過數(shù)值模擬研究三個永磁鐵呈等邊三角形排布的磁力擺裝置的擺球運動軌跡路線,提出該系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性,是演示與“蝴蝶效應”[21]相關聯(lián)和類比天氣預測的一種簡化系統(tǒng).Mann[22]通過一個橫向放置的單擺和兩個磁鐵組成的磁力擺實驗裝置系統(tǒng)來研究其動力學行為,對準穩(wěn)態(tài)逃逸準則進行了拓展,得出一個平衡點的振蕩能克服相鄰的勢壘并逃逸到相鄰的吸引子的閾值準則.James等[23]通過數(shù)值模擬研究四個永磁鐵呈正方形排布的磁力擺裝置系統(tǒng),得出該系統(tǒng)擺球復雜運動軌跡與分形有關,并通過估計分形維數(shù)來研究擺球對初始條件的敏感性現(xiàn)象.
從目前的研究進展來看,典型磁力擺系統(tǒng)存在初值敏感性行為是公認的事實,但是引起該現(xiàn)象機制的理解尚存在分歧:有些學者認為該現(xiàn)象應歸因于混沌或瞬態(tài)混沌,另外一些學者認為該現(xiàn)象源于吸引域分形為此,本文考慮一類磁鐵位置可調節(jié)的典型磁力擺系統(tǒng),分析其全局動力學行為,特別是初值敏感性現(xiàn)象的機制.結構安排如下:首先,對該類磁力擺系統(tǒng)建模;第三節(jié),變換磁鐵位置,分析不同磁鐵分布情況下磁力擺系統(tǒng)的平衡點個數(shù)和穩(wěn)定性;第四節(jié),數(shù)值模擬磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象;并在第五節(jié)通過設計實驗驗證該現(xiàn)象;最后,進行總結2磁力擺動力學簡化模型本文以一類等邊三角形排布的磁力擺為研究對象,其中橫豎支桿作為吊接擺球裝置,小圓盤作為放置三個永磁鐵裝置,大圓盤設置有滑槽,配合小圓盤移動永磁鐵位置,U形支座用于校驗實驗裝置是否水平,磁力擺簡化計算模型.
在建立磁力擺運動數(shù)學模型方程之前,作出以下三點理想化假設[24](1)磁力擺吊線的長度遠遠要比磁鐵間的距離長,因此,可以假定擺球是在平面上而不是在較大半徑的球面上運動,即保持不變(2)磁鐵是一個吸引點,位于磁鐵放置基底平面上,三個磁鐵在平面上呈等邊三角形放置,即ABACBC,且每個磁鐵中心位于等邊三角形頂點上(3)某個磁鐵作用在擺球上的力與兩者的距離的平方成反比
實驗驗證本節(jié)將通過實驗來驗證該磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象.傳統(tǒng)的實驗驗證方法[24]是在磁鐵固定板上涂滿熒光劑,然后在擺球上安裝感光燈,會使熒光劑發(fā)光來跟蹤擺球運動軌跡,但熒光劑發(fā)光亮度會受到限制和發(fā)光時間也有限,得到的實驗軌跡圖效果并不理想.
為此,本實驗采用可調節(jié)亮度的LED微型信號燈位置粘貼在擺球與吊線連接處,尺寸2mm1mm,質量2mg),用攝像機延時拍攝功能直接跟蹤擺球上燈光軌跡,從而來直觀記錄下擺球運動的軌跡驗證初值敏感性現(xiàn)象.由于LED微型信號燈質量遠遠小于擺球僅相當于擺球質量的04),因此忽略其質量,并不定性影響該系統(tǒng)的動力學行為.
根據(jù)實驗目標準備如下實驗裝置器材:橫向支桿、豎向支桿、緊固支桿螺栓、豎向支桿底座、圓形透明有機玻璃座、三個扁平圓柱體釹鐵硼永磁鐵、帶孔擺球、吊線、兩根直徑為0.1mm細導線、一個220色環(huán)電阻、一個調節(jié)范圍為至550電位器、一個LED微型信號燈、5V電壓接線、5V電源、攝像機、三腳支架等. 為了讓攝像機能夠更好地進行捕光工作,將整個實驗裝置放置在較暗環(huán)境下;同時,為減小實驗效果誤差,將擺球吊線涂成黑色,從而避免反光影響攝像機捕捉擺球上光軌。
結論
本文基于對磁鐵位置可調節(jié)的典型磁力擺為研究對象,建立了無量綱化動力學運動微分方程;改變磁鐵位置,分析七組不同磁鐵位置下磁力擺系統(tǒng)的平衡點個數(shù),并判斷了每組平衡點的穩(wěn)定性;通過數(shù)值模擬研究磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象及其機制和不同磁鐵位置對應的吸引域演變規(guī)律.最后,通過實驗驗證該磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象.主要得到以下結論
(1)該磁力擺系統(tǒng)存在三個共存吸引子,初值敏感性現(xiàn)象歸因于不動點吸引子的吸引域分形,而非混沌(2)每組穩(wěn)定的平衡點即不動點位置與磁鐵中心投影到xy平面上位置并不重合,而存在微小的偏差,偏差與重力恢復力相關的彈性系數(shù)和擺球距磁鐵所在平面之間的最小距離這兩個設計參數(shù)有關。
(3)當擺球可投影到三個磁鐵對應的等邊三角形的形心位置時,三個磁鐵吸引子的吸引域區(qū)域面積相當,呈中心對稱狀且分形,初值敏感性現(xiàn)象很明顯。
(4)移動磁鐵位置則會直接影響到三個磁鐵吸引子的吸引域形態(tài),即離擺球平衡位置投影點近的磁鐵對擺球影響最大,也就是離其最近的吸引子的吸引域會明顯變得越來越大,其它吸引子的吸引域則會被侵蝕消減。
作者：秦波尚慧琳†蔣慧敏
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