本文摘要：摘要本文使用計算機(jī)MATLAB編程,用蒙特卡羅數(shù)值方法對正方形內(nèi)任意兩點的平均距離、伽爾頓板、傳染病的傳播三種情況進(jìn)行了模擬分析。其中,正方形內(nèi)任意兩點的平均距離與伽爾頓板兩組實驗結(jié)果與常規(guī)實驗得到的結(jié)果相符合,從而驗證了蒙特卡羅方法在物理研究中是
摘要本文使用計算機(jī)MATLAB編程,用蒙特卡羅數(shù)值方法對“正方形內(nèi)任意兩點的平均距離”、“伽爾頓板”、“傳染病的傳播”三種情況進(jìn)行了模擬分析。其中,“正方形內(nèi)任意兩點的平均距離”與“伽爾頓板”兩組實驗結(jié)果與常規(guī)實驗得到的結(jié)果相符合,從而驗證了蒙特卡羅方法在物理研究中是有效和可靠的數(shù)值方法。而后將這一方法用于分析“傳染病的傳播”問題中,蒙特卡羅數(shù)值模擬方法對于在不同條件下傳染病的擴(kuò)散進(jìn)行了分析。該模型對于對傳染病的防控措施具有一定的借鑒作用。
關(guān)鍵詞蒙特卡羅模擬;MATLAB;伽爾頓板;預(yù)測模型
蒙特卡羅(MonteCarlo)方法是一種以“隨機(jī)數(shù)”解決問題的方法,它利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計實驗,以求得統(tǒng)計特征值作為待解決問題的數(shù)值解[1]。其廣泛應(yīng)用于計算機(jī)仿真實驗得到相關(guān)數(shù)據(jù),并分析以得到某些現(xiàn)象規(guī)律或者對問題進(jìn)行求解[2]�？梢园衙商乜_解題歸結(jié)為三個主要步驟:構(gòu)造或描述概率過程;實現(xiàn)從已知概率分布抽樣;建立各種估計量。蒙特卡羅方法具有易于操控,方便快速,可應(yīng)用范圍廣等優(yōu)點。
隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展以及待解決問題的多樣性的提升,蒙特卡羅方法廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)[3,4],核物理[5,6],電子等領(lǐng)域[7,8]。文中使用MATLAB平臺進(jìn)行蒙特卡羅模擬,MATLAB平臺計算能力強,操作靈活,具有程序結(jié)構(gòu)性強,延展性好等優(yōu)點[9]。并且MATLAB具有強大的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器指令,這對蒙特卡羅模擬是十分重要的優(yōu)點[10]。使用MATLAB進(jìn)行蒙特卡羅模擬在很多方向取得了成果[11,12]。
本文對“正方形內(nèi)任意兩點的平均距離”、“伽爾頓板”、“傳染病的傳播”三個問題進(jìn)行了求解。“正方形內(nèi)任意兩點的平均距離”問題可以通過傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法求解,使用積分可以求得精確值,但計算較為復(fù)雜,有一定難度。通過蒙特卡羅方法求解快捷,簡單,得到的結(jié)果與數(shù)學(xué)計算所得結(jié)果偏差極小;通過實驗可知,伽爾頓板的實驗結(jié)果成正態(tài)分布。本文使用蒙特卡羅數(shù)值模擬方法模擬這一結(jié)果,并且分析了小球的初始下落位置對實驗的影響。
目前新冠肺炎病毒正在擴(kuò)散,已有很多預(yù)測模型對“傳染病的傳播”問題進(jìn)行了研究,本文使用蒙特卡羅數(shù)值模擬,參考了“不同人對病毒的免疫力”等影響因素,對病毒的擴(kuò)散進(jìn)行了分析,得到影響病毒擴(kuò)散的一些重要因素。這些研究對于病毒擴(kuò)散的防控措施具有借鑒意義。
1正方形內(nèi)任意兩點的平均距離問題
在正方形內(nèi)任意找兩個點,兩個點的之間有一個距離,當(dāng)這兩個點遍歷這個正方形,兩點之間距離的平均值是多少?該問題可以用數(shù)學(xué)中四重積分求解。
2伽爾頓板
2.1什么是伽爾頓板
伽爾頓板是由豎直擺放的平整木板,在平板上鑲嵌的障礙物,如鐵釘,以及在平板下部用豎直隔板形成等寬的凹槽所構(gòu)成。如果將小球從伽爾頓板的上方漏斗投入,則小球會由于與鐵釘?shù)牟煌Ｅ鲎沧罱K落在下方凹槽中的某一個。由于鐵釘是按照一定規(guī)律均勻鑲嵌的,所以小球最終落點是完全隨機(jī)的。此外,如果投入大量小球或者重復(fù)多次試驗可發(fā)現(xiàn):落在下方兩側(cè)隔板的小球相對較少,落在中央隔板中的小球相對較多,小球的個數(shù)從中間凹槽向兩側(cè)逐漸減少,小球在凹槽中的分布符合正態(tài)分布。此實驗經(jīng)常用于說明統(tǒng)計規(guī)律的必然性總是寓于大量的個別事件的偶然性之中,以及統(tǒng)計規(guī)律中出現(xiàn)的漲落現(xiàn)象[13]。由于伽爾頓板實驗具有隨機(jī)性和統(tǒng)計性,也可使用蒙特卡羅方法模擬該實驗。
2.2建立模型
小球從伽爾頓板上方投入,在伽爾頓板中與鐵釘接觸,發(fā)生碰撞并向兩側(cè)彈開并繼續(xù)下落,最終落入某一凹槽中。模型設(shè)定如下:(1)小球直徑小于伽爾頓板中任意兩鐵釘之間距離,保證小球落入下方凹槽;(2)鐵釘直徑無限小。兩層之間鐵釘位置相互交錯;(3)小球與鐵釘碰撞后向左右彈開概率均為50%;(4)小球與鐵釘碰撞后下次碰撞目標(biāo)僅為緊靠該鐵釘左右兩側(cè)的下層鐵釘,如圖2中鐵釘A與鐵釘B、C;(5)小球接觸伽爾頓板兩側(cè)邊緣后向另一側(cè)方向反彈。
3傳染病的傳播
3.1新型冠狀病毒與傳染病
近期爆發(fā)的新型冠狀病毒肺炎具有較高的傳染性,如不及時醫(yī)治,病毒將會導(dǎo)致感染者組織和器官的損傷,甚至死亡。截止2020年3月,國內(nèi)感染八萬余人,其中死亡三千余人,也給國家?guī)砹司揞~損失。如能成功預(yù)測患病人數(shù),則有利于資源的分配工作,并且有助于對傳染病傳染的控制,降低損失。預(yù)測技術(shù)于20世紀(jì)40年代被提出,現(xiàn)已成為了一門自成體系的學(xué)科,預(yù)測方法包括定性預(yù)測,綜合預(yù)測等方法[14]。本文在研究中參考了本次新型冠狀病毒肺炎的實例:攜帶口罩,減少人員流動,避免前往人流密集的地點等手段能有效防止傳染的發(fā)生。不同人對傳染的抵抗力不一樣,在早期傳染中,年輕人被感染的概率極低,也曾出現(xiàn)過自愈的情況等。通過設(shè)置參數(shù),使本文模型更科學(xué),可信度更高,更貼近實際數(shù)值,對于新冠病毒的防控具有一定的借鑒意義。
3.2建立模型
本節(jié)使用MATLAB建立模型,預(yù)測一段時間后總感染人數(shù):(1)設(shè)置參數(shù):設(shè)已感染傳染病的人數(shù)為x;每個傳染者遇到的未感染人數(shù)為N,N是一個隨機(jī)的參量;采取免疫措施的人數(shù)為D;預(yù)測感染時間為T后的總感染人數(shù)。在人群中存在兩種體制:易感染者a與不易感染者b,兩者對傳染病的抵抗力不同。(2)將參數(shù)賦值:設(shè)第一批已感染者為1人,x=1;傳染時間為7天,一個傳染周期為一天;每個感染者每天可能遇到的人數(shù)為N=8,10或12。且遇到這三種人數(shù)的概率相同;每天每人遇到采取預(yù)防措施人數(shù)D=2,則可傳染的最多人數(shù)為(N-D);易感人群a與不易感人群b分布為:7∶3。易感人群被傳染概率為80%,不易感人群被傳染概率為20%。
4結(jié)語
本文使用蒙特卡羅方法以及MATLAB編程,成功對“正方形內(nèi)任意兩點的平均距離”、“伽爾頓板實驗”、“傳染病的被傳播人數(shù)的預(yù)測”三個課題進(jìn)行了研究。在“正方形內(nèi)任意兩點的平均距離”課題中,使用MATLAB編程求解的平均距離以及使用數(shù)學(xué)積分求解的精確平均距離之間的偏差小于2%,且當(dāng)計算重復(fù)20000次以上時,精準(zhǔn)度會進(jìn)一步提升。相比于使用多重積分計算,使用蒙特卡羅方法求解操作難度較低,求解過程簡潔,求解效率更高;“伽爾頓板實驗”課題中,通過建立的模型,可以得到每顆小球的下落路線,還原真實的伽爾頓板實驗。
物理論文投稿刊物：《物理與工程》它的宗旨是面向全國大中專院校物理教師、廣大科技工作者和相關(guān)人員;交流物理教學(xué)經(jīng)驗與教學(xué)研究成果;介紹與討論物理學(xué)及其他交叉學(xué)科的新發(fā)展、新動向及物理學(xué)前沿進(jìn)展;介紹物理學(xué)在現(xiàn)代工程技術(shù)中的應(yīng)用，旨在促進(jìn)物理教學(xué)改革向縱深發(fā)展。
當(dāng)投入多個小球時,分析落在凹槽內(nèi)小球的個數(shù)可知:當(dāng)小球初始下落位點為伽爾頓板中間點時,最終小球的分布為正態(tài)分布,模擬結(jié)果正確。當(dāng)小球初始下落位點為任意位點時,最終小球分布呈現(xiàn)“初始下落位點對應(yīng)凹槽內(nèi)小球最多,并且向兩側(cè)凹槽內(nèi)小球逐漸減少”的規(guī)律;“傳染病的被傳播人數(shù)的預(yù)測”模型中,將“傳染者可能遇到的人數(shù)”,“病毒對不同體質(zhì)的人傳染概率不同”,“采取預(yù)防措施”等因素考慮在內(nèi),成功預(yù)測了在各條件下被傳染的人數(shù)。證明了采取預(yù)防措施能有效限制病毒的傳播,研究了傳染者接觸人數(shù)之間相差較大時對病毒傳播的影響。
參考文獻(xiàn)
[1]尹增謙,管景峰,張曉宏,等.蒙特卡羅方法及應(yīng)用[J].物理與工程,2002(3):46-50.YINZQ,GUANJF,ZHANGXH,etal.Themontecarlomethodanditsapplication[J].PhysicsandEngineering,2002(3):46-50.(inChinese)
[2]王巖.MonteCarlo方法應(yīng)用研究[J].云南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2006(S1):33-36.
作者：郭競達(dá)史旭光
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