本文摘要：注重知識生成過程的教學，在建立新內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)上，關注學生已有數(shù)學知識的基礎，充分體現(xiàn)從學生已有經(jīng)驗出發(fā)的理念;在課堂上，讓學生享有充分的獨立思考的時間和空間，能充分發(fā)表自己的見解;教師通過恰當?shù)膯栴}，引導學生主動思維、獨立思考，
注重知識生成過程的教學，在建立新內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)上，關注學生已有數(shù)學知識的基礎，充分體現(xiàn)“從學生已有經(jīng)驗出發(fā)”的理念;在課堂上，讓學生享有充分的獨立思考的時間和空間，能充分發(fā)表自己的見解;教師“通過恰當?shù)膯栴}，引導學生主動思維、獨立思考，使學生經(jīng)歷完整的學習過程，引導學生在已有認知基礎上，通過積極主動的思維而將新知識內(nèi)化到自己的認知結(jié)構(gòu)中去”學生碰到困難時，教師適時地介入學生的交流和探究活動，和學生形成數(shù)學學習的共同體。因此，強調(diào)知識的生成過程是實現(xiàn)數(shù)學教學根本目的的最佳途徑。
《數(shù)學通訊》創(chuàng)刊于1933年1月，是我國創(chuàng)辦最早的中等數(shù)學期刊，她幾經(jīng)風雨，歷盡滄桑，至今已走過了70多年的歷程。連續(xù)三屆榮獲北大核心期刊：北大核心期刊(2000)、北大核心期刊(1996)、北大核心期刊(1992)。
義務教育數(shù)學課程標準注重過程性目標，用經(jīng)歷、體驗、探索等詞匯刻畫學生的數(shù)學活動水平，強調(diào)使學生經(jīng)歷數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等方面得到全面發(fā)展。筆者認為，正確把握數(shù)學課標的這一理念，就是要從數(shù)學的學科特點和學生認知特點出發(fā)，以數(shù)學教材為基本依據(jù)，
挖掘數(shù)學知識所蘊涵的教育資源，為學生設計一個數(shù)學活動經(jīng)驗積累和數(shù)學知識自我建構(gòu)的過程，使他們在數(shù)學知識的理解和應用的過程中，
不斷激發(fā)數(shù)學學習的興趣，提升數(shù)學思維，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力。本文將在闡釋數(shù)學知識生成過程含義的基礎上，著重討論“過程性”教學的實踐問題。
-、數(shù)學知識生成過程的認識
數(shù)學知識是客觀事物在數(shù)與形方面的特征與聯(lián)系在人腦中的能動反映。“數(shù)學知識是人類認識的一種成果，包括人對周圍事物‘數(shù)’與4形’方面的經(jīng)驗和‘有秩序的論理體系’兩個方面。當前，人們把數(shù)學知識分為明確知識(如數(shù)學事實、數(shù)學原理等)和默會知識(如數(shù)學思想方法、解決問題的策略等)。”[1]數(shù)學知識不僅表現(xiàn)為數(shù)學概念、定理、法則、公式等“陳述性知識”，還表現(xiàn)為數(shù)學思想方法等“程序性知識”。M(m把數(shù)學知識分為陳述性知識和程序性知識，是對數(shù)學知識本質(zhì)理解的深化。實際上，數(shù)學概念、定理、公式、性質(zhì)、法則等陳述性知識中蘊涵著豐富的數(shù)學思想方法;而數(shù)學思想方法是建立在數(shù)學概念、定理、法則、公式之上的，如果沒有數(shù)學的基本事實、基本原理、基本概念，也就談不上什么數(shù)學思想方法。
傳統(tǒng)上，數(shù)學教科書更關注知識的邏輯結(jié)構(gòu)，強調(diào)定義的準確性、邏輯的嚴密性等，常常以一種學術化的、確定的方式呈現(xiàn)，對知識的發(fā)生發(fā)展過程以及學生的主體活動重視不夠。新一過欄目創(chuàng)新，設置了大量的數(shù)學知識可生成素材。教師“創(chuàng)造性地使用教材”，就是要結(jié)合當?shù)氐慕虒W條件，從學生的年齡特征和認知基礎出發(fā)，將教材提供的素材轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實的知識生成過程，經(jīng)過課堂教學實施，實現(xiàn)學生對數(shù)學知識的“知其源(追溯源頭)、會其神(領悟本質(zhì))、通其用(感受價值)”的實踐活動。下面以“數(shù)軸”概念的教學設計為例給予說明。
案例1“數(shù)軸”概念教學片段
[生活情景]
在一條東西向的馬路上，有一個汽車站，汽車站東3m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站西3m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫出圖表示這一情境。
[獨立研究]
學生結(jié)合自己巳有的知識對問題進行分析、比較，教師注意在學生獨立研究時進行巡視指導，關注他們畫圖的方法。
[問題思考]
怎樣用數(shù)簡明地表示這些樹、電線桿與汽車站的相對的位置關系(方向與距離)?(概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性)
[教師評析]
教師組織學生進行討論，對研究情況進行分析、評價。在學生研究、交流后展示：
如圖1，為了使表達清楚，從相反意義的量的關系看，可以把點O左右兩邊的數(shù)分別用負數(shù)和正數(shù)表示。再讓學生對以正、負數(shù)表示的實際意義給予分析。
像這樣，“帶有數(shù)據(jù)的直線”還有很多，如直尺、彈簧秤、溫度計(如圖2)等。
[數(shù)學建模]
圖2中的溫度計可以看作是表示正數(shù)、0和負數(shù)的直線嗎?它與圖1中的直線有什么共同點，有什么不同點?
(學生結(jié)合兩個圖形的共同點進行比較、圖2思考，教師注意對學生的比較情況給予評價。)
共同點：都是一條直線，都有表示方向的箭頭，都有表示相反意義的兩種量的數(shù)據(jù)：正數(shù)、負數(shù)。
不同點：一條直線是水平的，另一條是豎直的，所表示的數(shù)據(jù)的刻度長度不一樣。
教師引導學生從兩個問題的圖形中尋找共同本質(zhì)特征，可以得到圖3。
數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素。
數(shù)軸的畫法：師生共同總結(jié)畫數(shù)軸的步驟。
一般而言，注重知識生成過程的概念教學應經(jīng)歷以下環(huán)節(jié)：(1)背景引人;(2)通過典型豐富的具體事例(盡量讓學生自己舉例)，引導學生展開分析、比較、綜合等活動;(3)概括共同本質(zhì)特征，得到概念的本質(zhì)屬性;(4)下定義(用準確的數(shù)學語言表達);(5)概念的辨析;(6)用概念作判斷的具體事例;(7)概念的精致。
(三)生成性資源的捕捉數(shù)學教學是思維的教學。“在數(shù)學教學中高超地捕捉學生思維的閃光點(課堂中生成的資源)的能力是教師教學水平的集中體現(xiàn)。”“在教學中，如果教師能及時發(fā)現(xiàn)即時生成的教學資源，并通過恰當?shù)膯栴}激發(fā)學生進一步思考，就能有效地促進學生的數(shù)學理解。”[1]要使學生真正理解數(shù)學，必須讓他們在親歷親為的探索中獲得體驗。由于學生的個體差異，常常會出現(xiàn)個性化的語言、直覺結(jié)論、典型錯漏、新奇構(gòu)思、靈感、討論碰撞等所形成的智慧火花，這些都是生成性知識的重要源泉。教師要隨著學生思維的拓展、心態(tài)的逆轉(zhuǎn)和情緒的波動，敏銳把握各種教育契機，捕捉課堂中出現(xiàn)的問題、疑難、困惑、創(chuàng)新(甚至是意外)等生成性資源，適時加以引導、深化，創(chuàng)造性地加以重組，以形成新的數(shù)學知識生長點。
下面是“三角形的內(nèi)角”生成性資源捕捉的教學案例。
案例2-點鎖定180°
[探究新知]
(1)情景、設疑
師：同學們回憶一下，我們在小學是用什么方法來驗證“三角形的內(nèi)角和等于180度”的?
(2)剪紙、拼圖
生1:用量角器量各個內(nèi)角的度數(shù)，計算它們的和，得出結(jié)論。
生2:用撕拼的方法，將三角形中的兩個角剪下，拼在第三個角旁，看是否構(gòu)成平角。
生3:用折紙的方法，將三個角折疊到一起。
師：上面三名同學為我們提供了驗證的方法。下面我們以小組為單位進行驗證，驗證完后請同學代表你們的小組上來展示驗證方法。
生4:我們用兩種方法進行驗證：
一種方法是測量法，如圖4，分別測得ZA=58°,^B=62°,ZC=60%這樣就有：ZA+ZB+ZC=58°+62o+60o=180°;
另一種方法是剪拼法，如圖5，將ZA、剪下拼到點C處，可以得到ZA+ZB+ZC=180。。
師：在圖5中你怎樣判斷ZA+ZB+ZC=180。?
它們拼成了一個平角。
生6:我們小組也是用剪拼的方法，不過拼的方法和他們的不一樣。這是我們拼的圖形(如圖6)，ZA、ZB,ZC也拼成了一個平角。
生7:我們小組是這樣拼的，只把移動拼在ZC處(如圖7)。根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得到?.ZA+ZB+ZC=180°。
(3)發(fā)現(xiàn)、生成
師：好，數(shù)學結(jié)論正確性是要建立在推理基礎上的。上述實驗結(jié)果是否可靠，還需要加以證明。剛才的拼圖過程已經(jīng)為我們提供了證明思路和方法，請把你們的方法由來及證明方法在小組內(nèi)說說。再請一名同學代表你們小組進行“學術報告”。在匯報結(jié)束后，我們針對他的方法和依據(jù)提出問題，然后請做匯報的同學答辯。
生8(第6小組的代表)：過點C作CD//AB,延長BC到E，證明過程如下：
因為Z1-Z：A，Z2=ZB,所以ZA+ZB+ZC=180。。
生9:生8的說理過程有問題，以下是我們小組的說理過程：
因為CD//AB，所以Z1=ZA(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，
Z2=Z-B(兩直線平行，同位角相等)，又因為2八(^+幺1+幺2=180°(平角意義)，所以
師：不錯，補充以后因果關系就比較清楚了。老師還有一個疑問，你是怎樣想到過點C作AB的平行線CD的?
生8:由圖5的拼法可以發(fā)現(xiàn)：把ZA剪下并拼到點C處時，得到ZA=ZA，根據(jù)內(nèi)錯角相等，可以得到兩直線平行;反過來，如果兩直線平行，那么ZA=ZA，就相當于把ZA剪下并拼到點C處。這樣，我們就得到圖8的作平行線方法。
師：你們很善于借助拼圖中的經(jīng)驗，如果不作平行線呢?
生10:如圖9，我直接在點C處以點C為角的頂點，CA為角的一邊，在三角形外畫Zl=ZA。理由如下：
因為Z1=ZA，所以CD//AS(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)。
因為CD//AB，所以=(兩直線平行，同位角相等)。
所以ZA++ZC=Zl+Z2+ZACB=180。。
師：好!其他小組還有別的方法嗎?
生^(第4小組的代表)：我們受圖6的啟發(fā)，過點C畫EF//AB，如圖10。這樣相當于把ZA、拼在ZC的兩旁。理由為：
因為EF//AS，所以Z1=ZA，
Z2=ZB(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)。
所以ZA+ZB+ZC=Z1+Z2十ZACB=180。。
生12：(第1小組代表)：我們受拼圖7的啟發(fā)，如圖11，
過點C作CD//AB。理由如下：
因為CD//，所以+ZBCD=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)。
所以ZA+ZB+ZACB=180°。
生13:我認為生13的說理不夠準確。應在第一個“所以”后加上“zacd=za(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)”。
師：我有點佩服大家了(學生笑)，不僅能從拼圖中發(fā)現(xiàn)方法，采用不同的途徑證明“三角形的內(nèi)角和等于180度”(板書)，而且道理也講得明白。
(4)拓展、探究
由于平行線這種輔助線作法在平面幾何中有著很重要的應用，教師抓住時機，提出問題。
師：有人說“過平面上任一點作三角形邊的平行線均可證明三角形內(nèi)角和結(jié)論”，你們認為行嗎?
一石激起千層浪，此時，學生已發(fā)現(xiàn)過三角形的頂點作對邊的平行線可達目的。學生在學習小組內(nèi)展開了積極的討論，嘗試過其他點畫平行線，不一會兒就有學生舉手。
生3:如囹12，在BC上任意取一點P，作PE//AC,PD//AB。說理過程如下：
因為PD//AB，所以=ZA=Z2(兩直線平行，同位角相等)。
因為PE//AC，所以=(兩直線平行，同位角相等)。
Z4=Z2,(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)。所以ZA+ZB+ZC=Z3+Z4+Z1=ZBPC=180°o
生u(第2小組的代表)：如圖13，在AABC的內(nèi)部任取一點P，
分別作MV//BC、PD//AB、尸E/MC。因為MN//BC,所以ZAMN=ZB,ZANM=ZC(兩直線平行，同位角相等)。
接下來就可以轉(zhuǎn)化為生3的證明方法了。
生15(第3小組的代表)：在AABC外任取一點P，如圖14所示，分別作MN//BC交AB、AC的延長線于點M、N,作PD//AB、PE//AC^\\交AC，AB于點Z)，E。
證明方法和生14的方法差不多。
在學生解決問題之后，教師提出一個更能激發(fā)學生繼續(xù)研究的問題，引導學生進入到新的研究境地，學生在這個研究境地中發(fā)現(xiàn)的就不再是一招一試的解決問題的方法，而是通過合作研究，發(fā)現(xiàn)不同的解決問題的方法之間的轉(zhuǎn)化所在。讓學生“身不由己”經(jīng)歷從“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的過程。
(5)歸納、升華
師：大家都研究好了，那么，如何把我們研究的方法歸納一下呢?
生:我認為從作平行線的點的位置分類歸納好些，可分三種情況：點在三角形邊上;點在二角形內(nèi);點在二角形外。
師：好!請一個同學把剛才的方法歸納一下。
生17:我們發(fā)現(xiàn)過三角形所在平面內(nèi)的任意一點作三角形邊的平行線，均可達到目的：
①如果過三角形的頂點做平行線，只需作一條平行線即可，如圖8，圖10，圖11的情形;
�、谌绻^三角形一邊上一點作平行線(頂點外，含邊的延長線上的點)，需作兩條平行線，如圖9的情形：
③如果過三角形內(nèi)或外一點作平行線，需作三條平行線，如圖13、圖14的情形。
師：通過以上各種方法的研究，我給你們的研究方法概括為：一點“鎖定”180度。
正當教師準備結(jié)束三角形內(nèi)角和結(jié)論的論證時，又有一個學生把手高高舉起了。
生18:我們發(fā)現(xiàn)過三角形的任一頂點作平行線也可論證。下面是論證過程：
如圖15，在BC：上取點D，連接AD,過點B,C’分別作B?：//AD，CF//AD,
因為BE//AD，CF//AD,所以BE//AD//CF,
所以Z1=Z3，Z4=Z2(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，
ZEBC+ZFCB=m°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)。
又因ZBAC=Z3+Z4,所以ZABC十ZBAC+ZACB=m°,即180。。
師：很好!這種方法是正確的，我都沒有想到這樣的方法，看來研究這個問題的方法還是很多的，相信同學們一定還能發(fā)現(xiàn)其他方法。課后繼續(xù)在小組內(nèi)研究交流，好的方法告訴老師。
通過教師的引導，把學生研究的方法加以歸納總結(jié)，學生研究問題的思想方法就不再是零散的、單一的，而是“多法合一同時，也點燃
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了學生思維的火花，為今后多邊形內(nèi)角和的論證提供了方法上的借鑒。
在捕捉生成性資源時，上述課例強調(diào)了學生已有的知識背景(三角形內(nèi)角和的知識)，學生的實踐活動(動手剪拼)，學生的抽象概括(由剪拼圖抽象成幾何模型)，學生的知識遷移(由幾何模型到輔助線的作法)，學生的思維發(fā)散(強調(diào)聯(lián)系、聯(lián)想)，滲透數(shù)學思想(分類、化歸、一般與特殊)。
(四)生成性評價的構(gòu)建
生成性評價的目的主要是對學生在數(shù)學學習過程中表現(xiàn)出的行為和狀態(tài)進行調(diào)控。生成性評價活動與學生的數(shù)學學習活動融為一體，與教學過程同步進行，關注學生在教學活動中的表現(xiàn)，為改進教學進程提供即時信息。生成性評價的構(gòu)建依托數(shù)學知識生成過程來進行定位，從數(shù)學知識的生成性教學目標的確定步人，在課堂實施環(huán)節(jié)中，對教學內(nèi)容(數(shù)學知識)的生成性預設與實踐進行評價，突出課堂活動中師生互動形成的生成性資源的評價。這樣.教學評價不僅關注了知識的形成過程，關注了課堂師生教學活動，而且能用發(fā)展的眼光關注生成性資源的構(gòu)建，從學生主體發(fā)展角度進行評價，落實全面發(fā)展的教學評價目標。
基于此，在生成性評價構(gòu)建中應主要突出以下幾個重要環(huán)節(jié)。
1.關注學生在生成過程中的思考方法和思維習慣的評價
作為教師，要從數(shù)學知識的生成性教學目標確定那一刻起，就應引導學生對數(shù)學的思考和理解，關注學生的思考問題的方法和思維習慣。不應只關注是否記住了某些公式、定理以及是否獲得了某個數(shù)學問題的解答。只有加強對學生思考方法和思維習慣的關注，學生才會在教師指導下，對數(shù)學問題才會刨根問底、獨立思考，激活創(chuàng)新思維，于“無意識”中迸發(fā)出“生成性”火花。
2.關注學生在生成過程中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力的評價
善于從相關學習材料中發(fā)現(xiàn)問題，并通過抽象、概括提出問題的能力，更能體現(xiàn)學生探究能力、實踐能力和創(chuàng)新思維能力和水平。在生成性評價中，要對學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力進行評 價，關注他們發(fā)現(xiàn)與提出問題的積極性和自信心，借助評價引導學生學會欣賞他人“發(fā)現(xiàn)”的結(jié)果，并逐漸形成“追問”和“質(zhì)疑”的意識。這樣，才能為生成性資源創(chuàng)設“迸發(fā)’’的空間。
3.關注學生在生成過程中數(shù)學表達和交流能力的評價
數(shù)學表達和交流能力包括敘述能力、判斷能力、質(zhì)疑能力和釋疑能力等。在數(shù)學知識生成過程教學活動中，教師引導學生進行數(shù)學表達和交流活動是十分重要的，在生成性評價中關注學生的數(shù)學表達和交流能力的評價，能引導學生大膽展示自己，主動參與與他人合作、交流的活動，正是在這樣的個體和群體的互動中，學生往往會以意想不到的“表現(xiàn)”表達和闡述自己獨到的見解，彌補教材中無法呈現(xiàn)的生成性資源。
4.關注學生在生成過程中不斷反思和改進能力的評價
在探究新知識生成的學習過程中的反思和改進能力，能夠加深學生對數(shù)學核心知識的理解和掌握，有利于培養(yǎng)學生的批判性思維、創(chuàng)造性思維等高層次思維能力。我們可以借助數(shù)學知識生成過程的學習活動，預設“反思和改進”的活動過程，引導學生參與其中，內(nèi)置一個個師生、生生、生本等交流與互動效果的評價過程，在有層次、有節(jié)奏、重參與、重發(fā)展的動態(tài)評價模式下，促使生成性評價的動態(tài)性、發(fā)展性等效能的實現(xiàn)。
三、結(jié)束語
通過對數(shù)學知識生成過程教學的探索與實踐，我們深刻地體會到，數(shù)學教學既要關注數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，又要關注數(shù)學結(jié)論(結(jié)果)。數(shù)學教學的根本目的在于豐富學生的數(shù)學知識，發(fā)展學生的數(shù)學思維，提高學生的數(shù)學能力，培養(yǎng)學生的理性精神，讓學生學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題和解決問題，并在研究和解決問題過程中掌握思考問題的數(shù)學思想、數(shù)學方法。
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