本文摘要：摘要在數(shù)學(xué)規(guī)劃的領(lǐng)域里定義了互逆規(guī)劃各自目標(biāo)函數(shù)與約束條件位置相互交換的一對規(guī)劃.接著指出，盡管互逆規(guī)劃與對偶規(guī)劃在表面上似乎類似，但是二者存在5點(diǎn)不同：(1)是否為同一個問題的不同;(2)存在對偶間隙與否的不同;(3)設(shè)計變量數(shù)目的不同;(4)是否單目標(biāo)
摘要在數(shù)學(xué)規(guī)劃的領(lǐng)域里定義了互逆規(guī)劃——各自目標(biāo)函數(shù)與約束條件位置相互交換的一對規(guī)劃.接著指出，盡管互逆規(guī)劃與對偶規(guī)劃在表面上似乎類似，但是二者存在5點(diǎn)不同：(1)是否為同一個問題的不同;(2)存在“對偶間隙”與否的不同;(3)設(shè)計變量數(shù)目的不同;(4)是否單目標(biāo)與多目標(biāo)問題的不同;(5)問題合理與否的不同.然后，基于互逆規(guī)劃的定義，用以審視結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，給出如下結(jié)果：(1)從這個角度洞悉，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，確實有不合理的模型一直被沿用著;(2)找到了修正不合理模型使之合理化的方法;(3)對于給定體積下的柔順度最小化(MCVC)模型，指出了其不合理的原因;(4)MCVC模型實際是互逆規(guī)劃的m方，由此建立起其對應(yīng)的s方，即給出了多個柔順度約束的體積最小化(MVCC)模型;(5)給出了MVCC模型中的結(jié)構(gòu)柔順度約束的物理解釋和算法，論證了ICM(independentcontinuousandmapping)方法以往關(guān)于全局化應(yīng)力約束的概念和方法;(6)數(shù)值算例表明了MCVC與MVCC模型作為互逆規(guī)劃的差異，且印證了MVCC模型的合理性.MCVC模型在不同體積約束及多工況下不同的權(quán)系數(shù)時，得到最優(yōu)拓?fù)洳煌?但MVCC模型在多工況柔順度約束下可得到唯一的最優(yōu)拓?fù)?
關(guān)鍵詞結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,互逆規(guī)劃,MCVC模型
引言對偶規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域里極為重要的概念之一，具體可以細(xì)分為線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃、非線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃和正定幾何規(guī)劃的對偶規(guī)劃等等[1-3].對偶理論作為一個重要的方法論，能將大規(guī)模的原規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為一個規(guī)模小得多的對偶規(guī)劃問題求解，從而可以極大減少計算量，提高算法效率，在優(yōu)化領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用.1979年，F(xiàn)leury將對偶規(guī)劃引到結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域，進(jìn)行建立模型和求解算法的研究[4-6].
1984年，錢令希團(tuán)隊用對偶序列二次規(guī)劃算法求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題[7].結(jié)構(gòu)優(yōu)化中經(jīng)典的優(yōu)化求解算法如CONLIN(convexlinearizationmethod)[8]及MMA(methodofmovingasymptotes)[9]均基于對偶算法.文獻(xiàn)[10-12]等也是此方面的研究.隋允康等[13-14]結(jié)合累積迭代信息策略，研究了對偶算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的方法和應(yīng)用.在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中，設(shè)計變量數(shù)量通常是極大的，對一個工程實際問題，設(shè)計變量數(shù)量達(dá)到上百萬都有可能.對大規(guī)模的優(yōu)化模型，如果直接對原問題進(jìn)行求解，其計算量將是無法接受的.
因而，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化ICM方法一直特別重視應(yīng)用對偶求解算法[1-3].論及結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，應(yīng)當(dāng)追溯到1988年Bendsoe與Kikuchi[15]提出的均勻化方法.從那時起，連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化首次被提出并且得到了快速發(fā)展，涌現(xiàn)的許多方法中，包含SIMP(solidisotropicmaterialwithpenalization)方法[16]、拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)方法[17-18]、ESO(evolutionarystructuraloptimization)方法[19]、水平集方法[20]、相場法[21]、MMC(movingmorphablecomponents)方法[22]等等.對各類方法的綜述可參閱Rozvany[23]和Sigmund等[24]的文獻(xiàn).各種方法基本上集中在建模途徑和求解效率上，而對于優(yōu)化模型是否合理性則缺乏注意.
為此，可以考察一下連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的第一篇論文[15]，文中取體積約束下柔順度最小化為研究模型，為方便敘述，稱其為MCVC(minimumcomplianceswithavolumeconstraint)模型.實際上，不少方法在目標(biāo)函數(shù)和約束條件的選取上，都因循了MCVC模型的做法.客觀地說，MCVC模型模型存在一些不合理之處，應(yīng)當(dāng)予以指出[25-26]：(1)需要事先指定一個體積約束值，其實這是事先難以確定的，而且指定不同的體積約束值，所得到的結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的差別很大;(2)多工況情況下，多個柔順度目標(biāo)函數(shù)需要加權(quán)組合成單目標(biāo)函數(shù)，而權(quán)系數(shù)的指定亦沒有科學(xué)的依據(jù)，且結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型依賴于權(quán)系數(shù)的選擇.或許因為先入為主的思維定勢，桎梏了研究者思考MCVC模型是否合理的頭腦.或許是由于該模型易于顯式化，又只有一個體積約束，導(dǎo)致模型易于建立和求解，在連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的早期發(fā)展中，避免了顯式建模與高效求解這兩大困難，有利于研究者把精力集中在探求不同的方法上，因而MCVC模型起了很好的、不可替代的作用，直到現(xiàn)在仍在起作用.
模型中目標(biāo)函數(shù)和約束條件的設(shè)置是否合理?歷經(jīng)三十多年來的發(fā)展，到了需要明確揭示的時候了，也亟待需要予以解決.為此，隋允康等曾經(jīng)將MCVC模型同MVDC(minimumvolumewithdisplacementconstraints)模型進(jìn)行了比較研究[25-26]，說明MCVC模型的不合理性.然而，MCVC模型與MVDC模型不具有完全的對應(yīng)性，已經(jīng)發(fā)表的兩篇文章的說理性還不夠充分.
為了徹底解決如何建立合理的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型問題，本文旨在純數(shù)學(xué)角度的思考，類比對偶規(guī)劃，在數(shù)學(xué)規(guī)劃的領(lǐng)域里，首次提出互逆規(guī)劃的概念，進(jìn)行了相關(guān)的研究.接著，用新概念和方法洞察連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，建立了與MCVC模型互逆的MVCC(minimumvolumewithcomplianceconstraints)，即柔順度約束下體積極小化模型.在MVCC模型中，存在柔順度約束條件，本文對于柔順度約束的物理意義進(jìn)行了探討，其中包含在ICM方法中冠名應(yīng)力全局化的一種形式[2-3,27-28].
本文的算例驗證了MVCC模型的合理性，從而印證了建立互逆規(guī)劃概念和方法的意義.1從對偶規(guī)劃到互逆規(guī)劃在線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃乃至在具有高度非線性性質(zhì)的幾何規(guī)劃里，先后建立了各自的對偶理論.盡管這些不同的對偶理論各具個性，但是它們也具有共性.對偶理論已經(jīng)成為相關(guān)問題的重要理論基礎(chǔ)和有效求解途徑.
正項幾何規(guī)劃或正定幾何規(guī)劃的原--對偶關(guān)系遠(yuǎn)比上述復(fù)雜得多，原因是它針對高度非線性的冪函數(shù)正項多項式，借助于Cauchy不等式進(jìn)行推導(dǎo)，得到的對偶規(guī)劃屬于線性規(guī)劃的一種，其對偶規(guī)劃可以用線性規(guī)劃的單純形算法求解.線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的對偶變量源于Lagrange乘子，對應(yīng)于每一個約束條件，或者說，對偶變量的數(shù)值表達(dá)了每一個約束對于最優(yōu)解的貢獻(xiàn)大小.正項幾何規(guī)劃中，對偶變量對應(yīng)于原規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的每一項，或者說，對偶變量的數(shù)值表達(dá)了每一項對于最優(yōu)解的貢獻(xiàn)大小.
也就是說，在正項幾何規(guī)劃中，對偶變量關(guān)注到更為細(xì)致的層次，這一特點(diǎn)與對偶規(guī)劃可用線性規(guī)劃求解的特點(diǎn)在一起，導(dǎo)致正項幾何規(guī)劃受到了青睞.盡管如此，但是正項幾何規(guī)劃的求解范圍有局限性：不僅只適用于冪函數(shù)形式的函數(shù)，而且要求函數(shù)的每一項都是正項，對于含有負(fù)項的函數(shù)不得不進(jìn)行近似處理.鑒于它不具有普遍性，此處就不列出相關(guān)的原--對偶規(guī)劃的數(shù)學(xué)形式了.由于線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的對偶理論均具有普遍性，值得深入思考.雖然它們有各自的個性，例如非線性程度不同、顯式與隱式的差別等等，但是它們具有共性：(1)原--對偶問題表達(dá)的是同一個最優(yōu)化問題的兩個方面.(2)當(dāng)對偶間隙等于零時，可以先求解對偶問題，然后求出原問題的解.對偶理論在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中頗有應(yīng)用價值.結(jié)構(gòu)優(yōu)化中最常見的問題大多是隱式的式(2a)，需要采用數(shù)學(xué)和力學(xué)的方法建立近似顯式模型.
由于設(shè)計變量數(shù)N通常比約束數(shù)M大得許多，通過求解一個小得多的對偶問題式(2b)，可以極大提高求解原問題的效率.在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中，因N更是遠(yuǎn)大于M，效率的提高更為明顯.因之，ICM方法一直采用對偶序列二次規(guī)劃算法求解所建立的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型[1-3].盡管對偶理論的應(yīng)用十分有效，然而不少研究者在建模中，實際運(yùn)用了同對偶規(guī)劃類似的另一種規(guī)劃，本文稱之為互逆規(guī)劃，具體作如下構(gòu)造.
2從MCVC模型到MVCC模型
基于互逆規(guī)劃的定義及其同對偶規(guī)劃的比較，去審視結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，就可以做到兩點(diǎn)：(1)表明在研究的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，確實有不合理的模型一直被沿用;(2)找到修正不合理的模型使之合理化的方法.以連續(xù)體結(jié)構(gòu)剛度拓?fù)鋬?yōu)化問題為例，被廣泛研究的是MCVC模型。
3結(jié)構(gòu)柔順度上限的物理意義
不難看出，給出的MVCC模型比MCVC模型合理，原因在于：(1)追求體積最小化符合工程設(shè)計的常規(guī)做法;(2)MVCC模型避免了MCVC模型選取給定體積的先驗性做法;(3)在多載荷工況下，該模型依然是單目標(biāo)問題.不過，若想用MVCC模型代替MCVC模型，還是有前提條件的：必須給出結(jié)構(gòu)柔順度約束的物理解釋，并且提供結(jié)構(gòu)柔順度上限的計算途徑.
對比可以看到，MVCC模型可以關(guān)聯(lián)上全局化應(yīng)力約束條件，對應(yīng)于應(yīng)力約束值100MPa，得到唯一的最優(yōu)拓?fù)?但MCVC模型對不同的體積比約束值，會得到不同的最優(yōu)拓?fù)�，對�?yīng)的最大Mises應(yīng)力也不同.無法預(yù)先通過指定體積比約束值使得最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的應(yīng)力滿足約束強(qiáng)度條件.多工況的算例計算結(jié)果同樣驗證了上述結(jié)論，篇幅所限，不再列舉.
4結(jié)語
本文的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)規(guī)劃和結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的合理性兩個方面：(1)對比對偶規(guī)劃概念，提出了互逆規(guī)劃的概念，詳細(xì)闡述了兩種規(guī)劃之間的區(qū)別.(2)在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中應(yīng)用互逆規(guī)劃理論，明確了MCVC模型與MVCC模型并不是一對對偶規(guī)劃問題，而是一對互逆規(guī)劃問題.
(3)作為互逆規(guī)劃的m方的MCVC模型在不同的體積比下，會得到不同的最優(yōu)拓?fù)�，實際工程中難以確定選用哪一個是合理的.不同方案的強(qiáng)度指標(biāo)是不同的，但預(yù)先又無法確定一個體積比約束能夠使強(qiáng)度條件正好滿足.(4)MCVC模型在多工況情況下，還面臨不同工況的柔順度在進(jìn)行多目標(biāo)組合時的加權(quán)困擾，因為指定不同的加權(quán)系數(shù)會得到不同的最優(yōu)拓?fù)�，�?dǎo)致此模型的合理性受到質(zhì)疑.
(5)借助于互逆規(guī)劃，推導(dǎo)得到了作為互逆規(guī)劃s方的MVCC模型，其合理性體現(xiàn)在多載荷工況下，它也是一個單目標(biāo)問題，同時免除了MCVC模型先驗決定體積上限的不合理性.(6)闡釋了MVCC模型中結(jié)構(gòu)柔順度約束的物理意義，并且推導(dǎo)出來了結(jié)構(gòu)柔順度約束上限或稱為許用結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的計算公式，進(jìn)一步說明了ICM方法關(guān)聯(lián)于全局化應(yīng)力約束的工作.
(7)介紹了在MVCC模型上稍加處理就可以較滿意地解決結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的應(yīng)力約束問題，該算法極大地節(jié)省了應(yīng)力約束處理的昂貴計算量.(8)數(shù)值算例驗證了MCVC模型存在的不足以及MVCC模型的合理性.從互逆規(guī)劃的觀念出發(fā)，呼吁從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化的國內(nèi)外同仁們，能夠關(guān)注本文所意識到的問題及其對策，以便使包括連續(xù)體拓?fù)湓趦?nèi)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究，能夠與時俱進(jìn)、穩(wěn)健地得到發(fā)展.
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