本文摘要:摘要在數(shù)學(xué)規(guī)劃的領(lǐng)域里定義了互逆規(guī)劃各自目標(biāo)函數(shù)與約束條件位置相互交換的一對規(guī)劃.接著指出,盡管互逆規(guī)劃與對偶規(guī)劃在表面上似乎類似,但是二者存在5點(diǎn)不同:(1)是否為同一個問題的不同;(2)存在對偶間隙與否的不同;(3)設(shè)計變量數(shù)目的不同;(4)是否單目標(biāo)
摘要在數(shù)學(xué)規(guī)劃的領(lǐng)域里定義了互逆規(guī)劃——各自目標(biāo)函數(shù)與約束條件位置相互交換的一對規(guī)劃.接著指出,盡管互逆規(guī)劃與對偶規(guī)劃在表面上似乎類似,但是二者存在5點(diǎn)不同:(1)是否為同一個問題的不同;(2)存在“對偶間隙”與否的不同;(3)設(shè)計變量數(shù)目的不同;(4)是否單目標(biāo)與多目標(biāo)問題的不同;(5)問題合理與否的不同.然后,基于互逆規(guī)劃的定義,用以審視結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型,給出如下結(jié)果:(1)從這個角度洞悉,在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中,確實有不合理的模型一直被沿用著;(2)找到了修正不合理模型使之合理化的方法;(3)對于給定體積下的柔順度最小化(MCVC)模型,指出了其不合理的原因;(4)MCVC模型實際是互逆規(guī)劃的m方,由此建立起其對應(yīng)的s方,即給出了多個柔順度約束的體積最小化(MVCC)模型;(5)給出了MVCC模型中的結(jié)構(gòu)柔順度約束的物理解釋和算法,論證了ICM(independentcontinuousandmapping)方法以往關(guān)于全局化應(yīng)力約束的概念和方法;(6)數(shù)值算例表明了MCVC與MVCC模型作為互逆規(guī)劃的差異,且印證了MVCC模型的合理性.MCVC模型在不同體積約束及多工況下不同的權(quán)系數(shù)時,得到最優(yōu)拓?fù)洳煌?但MVCC模型在多工況柔順度約束下可得到唯一的最優(yōu)拓?fù)?
關(guān)鍵詞結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計,互逆規(guī)劃,MCVC模型
引言對偶規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域里極為重要的概念之一,具體可以細(xì)分為線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃、非線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃和正定幾何規(guī)劃的對偶規(guī)劃等等[1-3].對偶理論作為一個重要的方法論,能將大規(guī)模的原規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為一個規(guī)模小得多的對偶規(guī)劃問題求解,從而可以極大減少計算量,提高算法效率,在優(yōu)化領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用.1979年,F(xiàn)leury將對偶規(guī)劃引到結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域,進(jìn)行建立模型和求解算法的研究[4-6].
1984年,錢令希團(tuán)隊用對偶序列二次規(guī)劃算法求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題[7].結(jié)構(gòu)優(yōu)化中經(jīng)典的優(yōu)化求解算法如CONLIN(convexlinearizationmethod)[8]及MMA(methodofmovingasymptotes)[9]均基于對偶算法.文獻(xiàn)[10-12]等也是此方面的研究.隋允康等[13-14]結(jié)合累積迭代信息策略,研究了對偶算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的方法和應(yīng)用.在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中,設(shè)計變量數(shù)量通常是極大的,對一個工程實際問題,設(shè)計變量數(shù)量達(dá)到上百萬都有可能.對大規(guī)模的優(yōu)化模型,如果直接對原問題進(jìn)行求解,其計算量將是無法接受的.
因而,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化ICM方法一直特別重視應(yīng)用對偶求解算法[1-3].論及結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法,應(yīng)當(dāng)追溯到1988年Bendsoe與Kikuchi[15]提出的均勻化方法.從那時起,連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化首次被提出并且得到了快速發(fā)展,涌現(xiàn)的許多方法中,包含SIMP(solidisotropicmaterialwithpenalization)方法[16]、拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)方法[17-18]、ESO(evolutionarystructuraloptimization)方法[19]、水平集方法[20]、相場法[21]、MMC(movingmorphablecomponents)方法[22]等等.對各類方法的綜述可參閱Rozvany[23]和Sigmund等[24]的文獻(xiàn).各種方法基本上集中在建模途徑和求解效率上,而對于優(yōu)化模型是否合理性則缺乏注意.
為此,可以考察一下連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的第一篇論文[15],文中取體積約束下柔順度最小化為研究模型,為方便敘述,稱其為MCVC(minimumcomplianceswithavolumeconstraint)模型.實際上,不少方法在目標(biāo)函數(shù)和約束條件的選取上,都因循了MCVC模型的做法.客觀地說,MCVC模型模型存在一些不合理之處,應(yīng)當(dāng)予以指出[25-26]:(1)需要事先指定一個體積約束值,其實這是事先難以確定的,而且指定不同的體積約束值,所得到的結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型的差別很大;(2)多工況情況下,多個柔順度目標(biāo)函數(shù)需要加權(quán)組合成單目標(biāo)函數(shù),而權(quán)系數(shù)的指定亦沒有科學(xué)的依據(jù),且結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型依賴于權(quán)系數(shù)的選擇.或許因為先入為主的思維定勢,桎梏了研究者思考MCVC模型是否合理的頭腦.或許是由于該模型易于顯式化,又只有一個體積約束,導(dǎo)致模型易于建立和求解,在連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的早期發(fā)展中,避免了顯式建模與高效求解這兩大困難,有利于研究者把精力集中在探求不同的方法上,因而MCVC模型起了很好的、不可替代的作用,直到現(xiàn)在仍在起作用.
模型中目標(biāo)函數(shù)和約束條件的設(shè)置是否合理?歷經(jīng)三十多年來的發(fā)展,到了需要明確揭示的時候了,也亟待需要予以解決.為此,隋允康等曾經(jīng)將MCVC模型同MVDC(minimumvolumewithdisplacementconstraints)模型進(jìn)行了比較研究[25-26],說明MCVC模型的不合理性.然而,MCVC模型與MVDC模型不具有完全的對應(yīng)性,已經(jīng)發(fā)表的兩篇文章的說理性還不夠充分.
為了徹底解決如何建立合理的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型問題,本文旨在純數(shù)學(xué)角度的思考,類比對偶規(guī)劃,在數(shù)學(xué)規(guī)劃的領(lǐng)域里,首次提出互逆規(guī)劃的概念,進(jìn)行了相關(guān)的研究.接著,用新概念和方法洞察連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型,建立了與MCVC模型互逆的MVCC(minimumvolumewithcomplianceconstraints),即柔順度約束下體積極小化模型.在MVCC模型中,存在柔順度約束條件,本文對于柔順度約束的物理意義進(jìn)行了探討,其中包含在ICM方法中冠名應(yīng)力全局化的一種形式[2-3,27-28].
本文的算例驗證了MVCC模型的合理性,從而印證了建立互逆規(guī)劃概念和方法的意義.1從對偶規(guī)劃到互逆規(guī)劃在線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃乃至在具有高度非線性性質(zhì)的幾何規(guī)劃里,先后建立了各自的對偶理論.盡管這些不同的對偶理論各具個性,但是它們也具有共性.對偶理論已經(jīng)成為相關(guān)問題的重要理論基礎(chǔ)和有效求解途徑.
正項幾何規(guī)劃或正定幾何規(guī)劃的原--對偶關(guān)系遠(yuǎn)比上述復(fù)雜得多,原因是它針對高度非線性的冪函數(shù)正項多項式,借助于Cauchy不等式進(jìn)行推導(dǎo),得到的對偶規(guī)劃屬于線性規(guī)劃的一種,其對偶規(guī)劃可以用線性規(guī)劃的單純形算法求解.線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的對偶變量源于Lagrange乘子,對應(yīng)于每一個約束條件,或者說,對偶變量的數(shù)值表達(dá)了每一個約束對于最優(yōu)解的貢獻(xiàn)大小.正項幾何規(guī)劃中,對偶變量對應(yīng)于原規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的每一項,或者說,對偶變量的數(shù)值表達(dá)了每一項對于最優(yōu)解的貢獻(xiàn)大小.
也就是說,在正項幾何規(guī)劃中,對偶變量關(guān)注到更為細(xì)致的層次,這一特點(diǎn)與對偶規(guī)劃可用線性規(guī)劃求解的特點(diǎn)在一起,導(dǎo)致正項幾何規(guī)劃受到了青睞.盡管如此,但是正項幾何規(guī)劃的求解范圍有局限性:不僅只適用于冪函數(shù)形式的函數(shù),而且要求函數(shù)的每一項都是正項,對于含有負(fù)項的函數(shù)不得不進(jìn)行近似處理.鑒于它不具有普遍性,此處就不列出相關(guān)的原--對偶規(guī)劃的數(shù)學(xué)形式了.由于線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的對偶理論均具有普遍性,值得深入思考.雖然它們有各自的個性,例如非線性程度不同、顯式與隱式的差別等等,但是它們具有共性:(1)原--對偶問題表達(dá)的是同一個最優(yōu)化問題的兩個方面.(2)當(dāng)對偶間隙等于零時,可以先求解對偶問題,然后求出原問題的解.對偶理論在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中頗有應(yīng)用價值.結(jié)構(gòu)優(yōu)化中最常見的問題大多是隱式的式(2a),需要采用數(shù)學(xué)和力學(xué)的方法建立近似顯式模型.
由于設(shè)計變量數(shù)N通常比約束數(shù)M大得許多,通過求解一個小得多的對偶問題式(2b),可以極大提高求解原問題的效率.在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中,因N更是遠(yuǎn)大于M,效率的提高更為明顯.因之,ICM方法一直采用對偶序列二次規(guī)劃算法求解所建立的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型[1-3].盡管對偶理論的應(yīng)用十分有效,然而不少研究者在建模中,實際運(yùn)用了同對偶規(guī)劃類似的另一種規(guī)劃,本文稱之為互逆規(guī)劃,具體作如下構(gòu)造.
2從MCVC模型到MVCC模型
基于互逆規(guī)劃的定義及其同對偶規(guī)劃的比較,去審視結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型,就可以做到兩點(diǎn):(1)表明在研究的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中,確實有不合理的模型一直被沿用;(2)找到修正不合理的模型使之合理化的方法.以連續(xù)體結(jié)構(gòu)剛度拓?fù)鋬?yōu)化問題為例,被廣泛研究的是MCVC模型。
3結(jié)構(gòu)柔順度上限的物理意義
不難看出,給出的MVCC模型比MCVC模型合理,原因在于:(1)追求體積最小化符合工程設(shè)計的常規(guī)做法;(2)MVCC模型避免了MCVC模型選取給定體積的先驗性做法;(3)在多載荷工況下,該模型依然是單目標(biāo)問題.不過,若想用MVCC模型代替MCVC模型,還是有前提條件的:必須給出結(jié)構(gòu)柔順度約束的物理解釋,并且提供結(jié)構(gòu)柔順度上限的計算途徑.
對比可以看到,MVCC模型可以關(guān)聯(lián)上全局化應(yīng)力約束條件,對應(yīng)于應(yīng)力約束值100MPa,得到唯一的最優(yōu)拓?fù)?但MCVC模型對不同的體積比約束值,會得到不同的最優(yōu)拓?fù),對?yīng)的最大Mises應(yīng)力也不同.無法預(yù)先通過指定體積比約束值使得最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的應(yīng)力滿足約束強(qiáng)度條件.多工況的算例計算結(jié)果同樣驗證了上述結(jié)論,篇幅所限,不再列舉.
4結(jié)語
本文的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)規(guī)劃和結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的合理性兩個方面:(1)對比對偶規(guī)劃概念,提出了互逆規(guī)劃的概念,詳細(xì)闡述了兩種規(guī)劃之間的區(qū)別.(2)在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中應(yīng)用互逆規(guī)劃理論,明確了MCVC模型與MVCC模型并不是一對對偶規(guī)劃問題,而是一對互逆規(guī)劃問題.
(3)作為互逆規(guī)劃的m方的MCVC模型在不同的體積比下,會得到不同的最優(yōu)拓?fù),實際工程中難以確定選用哪一個是合理的.不同方案的強(qiáng)度指標(biāo)是不同的,但預(yù)先又無法確定一個體積比約束能夠使強(qiáng)度條件正好滿足.(4)MCVC模型在多工況情況下,還面臨不同工況的柔順度在進(jìn)行多目標(biāo)組合時的加權(quán)困擾,因為指定不同的加權(quán)系數(shù)會得到不同的最優(yōu)拓?fù),?dǎo)致此模型的合理性受到質(zhì)疑.
(5)借助于互逆規(guī)劃,推導(dǎo)得到了作為互逆規(guī)劃s方的MVCC模型,其合理性體現(xiàn)在多載荷工況下,它也是一個單目標(biāo)問題,同時免除了MCVC模型先驗決定體積上限的不合理性.(6)闡釋了MVCC模型中結(jié)構(gòu)柔順度約束的物理意義,并且推導(dǎo)出來了結(jié)構(gòu)柔順度約束上限或稱為許用結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的計算公式,進(jìn)一步說明了ICM方法關(guān)聯(lián)于全局化應(yīng)力約束的工作.
(7)介紹了在MVCC模型上稍加處理就可以較滿意地解決結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的應(yīng)力約束問題,該算法極大地節(jié)省了應(yīng)力約束處理的昂貴計算量.(8)數(shù)值算例驗證了MCVC模型存在的不足以及MVCC模型的合理性.從互逆規(guī)劃的觀念出發(fā),呼吁從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化的國內(nèi)外同仁們,能夠關(guān)注本文所意識到的問題及其對策,以便使包括連續(xù)體拓?fù)湓趦?nèi)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究,能夠與時俱進(jìn)、穩(wěn)健地得到發(fā)展.
相關(guān)論文范文閱讀:數(shù)學(xué)建模論文經(jīng)濟(jì)研究中的數(shù)學(xué)模型
隨著經(jīng)濟(jì)研究越來越深入,采用數(shù)學(xué)工具來分析和解釋經(jīng)濟(jì)問題已經(jīng)成為了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域研究最重要的方法。這篇數(shù)學(xué)建模論文分析了構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法和步驟。尤其是最近幾年來,計算機(jī)技術(shù)發(fā)展尤為迅速,開發(fā)了很多數(shù)學(xué)運(yùn)用軟件,利用數(shù)學(xué)模型來解決復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問題變得尤為高效,同時也提高了分析和解決經(jīng)濟(jì)問題的準(zhǔn)確性和真實性,為社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展做出了較大的貢獻(xiàn)。
轉(zhuǎn)載請注明來自發(fā)表學(xué)術(shù)論文網(wǎng):http:///jylw/20858.html