本文摘要：摘要在數(shù)學規(guī)劃的領域里定義了互逆規(guī)劃各自目標函數(shù)與約束條件位置相互交換的一對規(guī)劃.接著指出，盡管互逆規(guī)劃與對偶規(guī)劃在表面上似乎類似，但是二者存在5點不同：(1)是否為同一個問題的不同;(2)存在對偶間隙與否的不同;(3)設計變量數(shù)目的不同;(4)是否單目標
摘要在數(shù)學規(guī)劃的領域里定義了互逆規(guī)劃——各自目標函數(shù)與約束條件位置相互交換的一對規(guī)劃.接著指出，盡管互逆規(guī)劃與對偶規(guī)劃在表面上似乎類似，但是二者存在5點不同：(1)是否為同一個問題的不同;(2)存在“對偶間隙”與否的不同;(3)設計變量數(shù)目的不同;(4)是否單目標與多目標問題的不同;(5)問題合理與否的不同.然后，基于互逆規(guī)劃的定義，用以審視結構拓撲優(yōu)化模型，給出如下結果：(1)從這個角度洞悉，在結構優(yōu)化中，確實有不合理的模型一直被沿用著;(2)找到了修正不合理模型使之合理化的方法;(3)對于給定體積下的柔順度最小化(MCVC)模型，指出了其不合理的原因;(4)MCVC模型實際是互逆規(guī)劃的m方，由此建立起其對應的s方，即給出了多個柔順度約束的體積最小化(MVCC)模型;(5)給出了MVCC模型中的結構柔順度約束的物理解釋和算法，論證了ICM(independentcontinuousandmapping)方法以往關于全局化應力約束的概念和方法;(6)數(shù)值算例表明了MCVC與MVCC模型作為互逆規(guī)劃的差異，且印證了MVCC模型的合理性.MCVC模型在不同體積約束及多工況下不同的權系數(shù)時，得到最優(yōu)拓撲不同;但MVCC模型在多工況柔順度約束下可得到唯一的最優(yōu)拓撲.
關鍵詞結構拓撲優(yōu)化設計,互逆規(guī)劃,MCVC模型
引言對偶規(guī)劃是數(shù)學規(guī)劃領域里極為重要的概念之一，具體可以細分為線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃、非線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃和正定幾何規(guī)劃的對偶規(guī)劃等等[1-3].對偶理論作為一個重要的方法論，能將大規(guī)模的原規(guī)劃問題轉換為一個規(guī)模小得多的對偶規(guī)劃問題求解，從而可以極大減少計算量，提高算法效率，在優(yōu)化領域中得到廣泛應用.1979年，F(xiàn)leury將對偶規(guī)劃引到結構優(yōu)化領域，進行建立模型和求解算法的研究[4-6].
1984年，錢令希團隊用對偶序列二次規(guī)劃算法求解結構優(yōu)化問題[7].結構優(yōu)化中經典的優(yōu)化求解算法如CONLIN(convexlinearizationmethod)[8]及MMA(methodofmovingasymptotes)[9]均基于對偶算法.文獻[10-12]等也是此方面的研究.隋允康等[13-14]結合累積迭代信息策略，研究了對偶算法在結構優(yōu)化中的方法和應用.在連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化中，設計變量數(shù)量通常是極大的，對一個工程實際問題，設計變量數(shù)量達到上百萬都有可能.對大規(guī)模的優(yōu)化模型，如果直接對原問題進行求解，其計算量將是無法接受的.
因而，結構拓撲優(yōu)化ICM方法一直特別重視應用對偶求解算法[1-3].論及結構拓撲優(yōu)化方法，應當追溯到1988年Bendsoe與Kikuchi[15]提出的均勻化方法.從那時起，連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化首次被提出并且得到了快速發(fā)展，涌現(xiàn)的許多方法中，包含SIMP(solidisotropicmaterialwithpenalization)方法[16]、拓撲導數(shù)方法[17-18]、ESO(evolutionarystructuraloptimization)方法[19]、水平集方法[20]、相場法[21]、MMC(movingmorphablecomponents)方法[22]等等.對各類方法的綜述可參閱Rozvany[23]和Sigmund等[24]的文獻.各種方法基本上集中在建模途徑和求解效率上，而對于優(yōu)化模型是否合理性則缺乏注意.
為此，可以考察一下連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化的第一篇論文[15]，文中取體積約束下柔順度最小化為研究模型，為方便敘述，稱其為MCVC(minimumcomplianceswithavolumeconstraint)模型.實際上，不少方法在目標函數(shù)和約束條件的選取上，都因循了MCVC模型的做法.客觀地說，MCVC模型模型存在一些不合理之處，應當予以指出[25-26]：(1)需要事先指定一個體積約束值，其實這是事先難以確定的，而且指定不同的體積約束值，所得到的結構拓撲構型的差別很大;(2)多工況情況下，多個柔順度目標函數(shù)需要加權組合成單目標函數(shù)，而權系數(shù)的指定亦沒有科學的依據(jù)，且結構拓撲構型依賴于權系數(shù)的選擇.或許因為先入為主的思維定勢，桎梏了研究者思考MCVC模型是否合理的頭腦.或許是由于該模型易于顯式化，又只有一個體積約束，導致模型易于建立和求解，在連續(xù)體拓撲優(yōu)化的早期發(fā)展中，避免了顯式建模與高效求解這兩大困難，有利于研究者把精力集中在探求不同的方法上，因而MCVC模型起了很好的、不可替代的作用，直到現(xiàn)在仍在起作用.
模型中目標函數(shù)和約束條件的設置是否合理?歷經三十多年來的發(fā)展，到了需要明確揭示的時候了，也亟待需要予以解決.為此，隋允康等曾經將MCVC模型同MVDC(minimumvolumewithdisplacementconstraints)模型進行了比較研究[25-26]，說明MCVC模型的不合理性.然而，MCVC模型與MVDC模型不具有完全的對應性，已經發(fā)表的兩篇文章的說理性還不夠充分.
為了徹底解決如何建立合理的結構優(yōu)化模型問題，本文旨在純數(shù)學角度的思考，類比對偶規(guī)劃，在數(shù)學規(guī)劃的領域里，首次提出互逆規(guī)劃的概念，進行了相關的研究.接著，用新概念和方法洞察連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化模型，建立了與MCVC模型互逆的MVCC(minimumvolumewithcomplianceconstraints)，即柔順度約束下體積極小化模型.在MVCC模型中，存在柔順度約束條件，本文對于柔順度約束的物理意義進行了探討，其中包含在ICM方法中冠名應力全局化的一種形式[2-3,27-28].
本文的算例驗證了MVCC模型的合理性，從而印證了建立互逆規(guī)劃概念和方法的意義.1從對偶規(guī)劃到互逆規(guī)劃在線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃乃至在具有高度非線性性質的幾何規(guī)劃里，先后建立了各自的對偶理論.盡管這些不同的對偶理論各具個性，但是它們也具有共性.對偶理論已經成為相關問題的重要理論基礎和有效求解途徑.
正項幾何規(guī)劃或正定幾何規(guī)劃的原--對偶關系遠比上述復雜得多，原因是它針對高度非線性的冪函數(shù)正項多項式，借助于Cauchy不等式進行推導，得到的對偶規(guī)劃屬于線性規(guī)劃的一種，其對偶規(guī)劃可以用線性規(guī)劃的單純形算法求解.線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的對偶變量源于Lagrange乘子，對應于每一個約束條件，或者說，對偶變量的數(shù)值表達了每一個約束對于最優(yōu)解的貢獻大小.正項幾何規(guī)劃中，對偶變量對應于原規(guī)劃的目標函數(shù)和約束條件的每一項，或者說，對偶變量的數(shù)值表達了每一項對于最優(yōu)解的貢獻大小.
也就是說，在正項幾何規(guī)劃中，對偶變量關注到更為細致的層次，這一特點與對偶規(guī)劃可用線性規(guī)劃求解的特點在一起，導致正項幾何規(guī)劃受到了青睞.盡管如此，但是正項幾何規(guī)劃的求解范圍有局限性：不僅只適用于冪函數(shù)形式的函數(shù)，而且要求函數(shù)的每一項都是正項，對于含有負項的函數(shù)不得不進行近似處理.鑒于它不具有普遍性，此處就不列出相關的原--對偶規(guī)劃的數(shù)學形式了.由于線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的對偶理論均具有普遍性，值得深入思考.雖然它們有各自的個性，例如非線性程度不同、顯式與隱式的差別等等，但是它們具有共性：(1)原--對偶問題表達的是同一個最優(yōu)化問題的兩個方面.(2)當對偶間隙等于零時，可以先求解對偶問題，然后求出原問題的解.對偶理論在結構優(yōu)化中頗有應用價值.結構優(yōu)化中最常見的問題大多是隱式的式(2a)，需要采用數(shù)學和力學的方法建立近似顯式模型.
由于設計變量數(shù)N通常比約束數(shù)M大得許多，通過求解一個小得多的對偶問題式(2b)，可以極大提高求解原問題的效率.在連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化中，因N更是遠大于M，效率的提高更為明顯.因之，ICM方法一直采用對偶序列二次規(guī)劃算法求解所建立的結構拓撲優(yōu)化模型[1-3].盡管對偶理論的應用十分有效，然而不少研究者在建模中，實際運用了同對偶規(guī)劃類似的另一種規(guī)劃，本文稱之為互逆規(guī)劃，具體作如下構造.
2從MCVC模型到MVCC模型
基于互逆規(guī)劃的定義及其同對偶規(guī)劃的比較，去審視結構優(yōu)化模型，就可以做到兩點：(1)表明在研究的結構優(yōu)化中，確實有不合理的模型一直被沿用;(2)找到修正不合理的模型使之合理化的方法.以連續(xù)體結構剛度拓撲優(yōu)化問題為例，被廣泛研究的是MCVC模型。
3結構柔順度上限的物理意義
不難看出，給出的MVCC模型比MCVC模型合理，原因在于：(1)追求體積最小化符合工程設計的常規(guī)做法;(2)MVCC模型避免了MCVC模型選取給定體積的先驗性做法;(3)在多載荷工況下，該模型依然是單目標問題.不過，若想用MVCC模型代替MCVC模型，還是有前提條件的：必須給出結構柔順度約束的物理解釋，并且提供結構柔順度上限的計算途徑.
對比可以看到，MVCC模型可以關聯(lián)上全局化應力約束條件，對應于應力約束值100MPa，得到唯一的最優(yōu)拓撲.但MCVC模型對不同的體積比約束值，會得到不同的最優(yōu)拓撲，對應的最大Mises應力也不同.無法預先通過指定體積比約束值使得最優(yōu)拓撲結構的應力滿足約束強度條件.多工況的算例計算結果同樣驗證了上述結論，篇幅所限，不再列舉.
4結語
本文的貢獻體現(xiàn)在數(shù)學規(guī)劃和結構拓撲優(yōu)化模型的合理性兩個方面：(1)對比對偶規(guī)劃概念，提出了互逆規(guī)劃的概念，詳細闡述了兩種規(guī)劃之間的區(qū)別.(2)在結構拓撲優(yōu)化中應用互逆規(guī)劃理論，明確了MCVC模型與MVCC模型并不是一對對偶規(guī)劃問題，而是一對互逆規(guī)劃問題.
(3)作為互逆規(guī)劃的m方的MCVC模型在不同的體積比下，會得到不同的最優(yōu)拓撲，實際工程中難以確定選用哪一個是合理的.不同方案的強度指標是不同的，但預先又無法確定一個體積比約束能夠使強度條件正好滿足.(4)MCVC模型在多工況情況下，還面臨不同工況的柔順度在進行多目標組合時的加權困擾，因為指定不同的加權系數(shù)會得到不同的最優(yōu)拓撲，導致此模型的合理性受到質疑.
(5)借助于互逆規(guī)劃，推導得到了作為互逆規(guī)劃s方的MVCC模型，其合理性體現(xiàn)在多載荷工況下，它也是一個單目標問題，同時免除了MCVC模型先驗決定體積上限的不合理性.(6)闡釋了MVCC模型中結構柔順度約束的物理意義，并且推導出來了結構柔順度約束上限或稱為許用結構應變能的計算公式，進一步說明了ICM方法關聯(lián)于全局化應力約束的工作.
(7)介紹了在MVCC模型上稍加處理就可以較滿意地解決結構拓撲優(yōu)化的應力約束問題，該算法極大地節(jié)省了應力約束處理的昂貴計算量.(8)數(shù)值算例驗證了MCVC模型存在的不足以及MVCC模型的合理性.從互逆規(guī)劃的觀念出發(fā)，呼吁從事結構優(yōu)化的國內外同仁們，能夠關注本文所意識到的問題及其對策，以便使包括連續(xù)體拓撲在內的結構優(yōu)化研究，能夠與時俱進、穩(wěn)健地得到發(fā)展.
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