數(shù)學建模論文經(jīng)濟研究中的數(shù)學模型

　　隨著經(jīng)濟研究越來越深入，采用數(shù)學工具來分析和解釋經(jīng)濟問題已經(jīng)成為了經(jīng)濟領域研究最重要的方法。這篇數(shù)學建模論文分析了構建經(jīng)濟數(shù)學模型的方法和步驟。尤其是最近幾年來，計算機技術發(fā)展尤為迅速，開發(fā)了很多數(shù)學運用軟件，利用數(shù)學模型來解決復雜的經(jīng)濟問題變得尤為高效，同時也提高了分析和解決經(jīng)濟問題的準確性和真實性，為社會經(jīng)濟的發(fā)展做出了較大的貢獻。

　　《應用數(shù)學學報》它主要刊登國際、國內(nèi)應用數(shù)學及相關領域有關理論、方法或應用方面的研究論文，注重論文的創(chuàng)新性及學術水平。多年來，國內(nèi)所有的核心期刊評選機構都將該刊列為核心期刊，《中國科學引文索引》將該刊作為數(shù)據(jù)庫來源期刊，國內(nèi)的《中國數(shù)學文摘》、《中國學術期刊文摘》和《中國科學技術期刊文摘數(shù)據(jù)庫》(CSTA)等都為該刊作文摘索引。國外數(shù)學領域有重要影響的數(shù)學文摘刊物，如美國數(shù)學會的《數(shù)學評論》(MR)、俄羅斯的《數(shù)學文摘》、英國的《科學文摘》(SA)及德國的《數(shù)學文摘》等也都為該刊作文摘�，F(xiàn)在該刊上發(fā)表的文章已成為內(nèi)地及香港各大、專院校及科研機構晉級、評獎和評定職稱的重要依據(jù)。

　　摘 要：數(shù)學模型是經(jīng)濟研究過程中最為常見的分析工具，在很大程度上影響了經(jīng)濟研究人員看待問題和分析問題的角度和方法，使其能夠通過現(xiàn)象看到各種經(jīng)濟問題的本質。文章基于數(shù)學模型的基本內(nèi)涵，結合經(jīng)濟研究現(xiàn)狀闡述了數(shù)學經(jīng)濟建模及其重要性，并闡述了構建經(jīng)濟數(shù)學模型的方法，并通過相關案例展現(xiàn)了經(jīng)濟學與數(shù)學的完美結合。

　　關鍵詞：數(shù)學模型 基本內(nèi)涵 方法 步驟 案例

　　純粹的量的關系和形式是數(shù)學研究的主要對象，將具體形象的實際內(nèi)容舍棄，只保留一般的數(shù)量關系，關注其抽象的共性，是數(shù)學研究的特征;反之，經(jīng)濟學及其他學科最為感興趣的是自己所抽象的公式(數(shù)學模型)能否說明某一現(xiàn)象、解決相應的問題以及其使用的約束條件如何，這樣矛盾自然也同時存在兩者之間。然而在經(jīng)濟領域中用數(shù)學方法能夠很好說明某些現(xiàn)象或概括某些問題卻是不爭的事實，因此在經(jīng)濟學中使用數(shù)學的關鍵問題僅僅在于其實踐性或適用性方面? 譹?訛。建立數(shù)學模型能夠研究變量之間的關系，探究事務變化的規(guī)律，用可控變量計算出必要的結論，進而總結出理論假說，這便是數(shù)學模式在經(jīng)濟研究領域中的運用。如今經(jīng)濟學已經(jīng)成為了一門高度數(shù)學化的社會科學類學科，數(shù)學成為經(jīng)濟模型建立和推導的主要工具，很多數(shù)學的重大研究已經(jīng)運用于經(jīng)濟學理論中�，F(xiàn)在這兩者矛盾爭論的焦點不再是經(jīng)濟學需不需要使用數(shù)學方法，而是怎樣在經(jīng)濟研究中使用數(shù)學方法的問題。雖然現(xiàn)代經(jīng)濟學在研究經(jīng)濟問題方面已經(jīng)獲得了較好的成效，但是對于經(jīng)濟學而言某些數(shù)學模式是否能夠運用其中，或者如何更好地運用其研究經(jīng)濟問題仍需要進一步探究。

　　一、數(shù)學模型的基本內(nèi)涵

　　數(shù)學模型是采用有關數(shù)學思想，對數(shù)學研究中的各種問題的一種整體概述和表述。其一般是為了解決數(shù)學問題，對某個特定對象提出必要的條件和假設，使用數(shù)學圖形、數(shù)學關系式、圖表等數(shù)學專業(yè)術語以及合理的數(shù)學方法和手段獲取的數(shù)學結構。這種數(shù)學結構的形式豐富多彩，其能夠是一種算法語言，可以是一個數(shù)學圖表，也可以是幾種結構的混合。將數(shù)學領域的具體問題抽象和簡化為數(shù)學模型即是數(shù)學建模，其包含提出問題、簡化問題、模型建立、模型驗證、模型修改、模型使用等多方面內(nèi)容?譺?訛。

　　在經(jīng)濟研究中引進數(shù)學工具進行解析，把復雜的經(jīng)濟問題用精練的數(shù)學語言予以表達，從而把經(jīng)濟中相互影響的因素建立起具有邏輯性的相互聯(lián)系，然后通過計算找出其內(nèi)在的規(guī)律性及其具體數(shù)量，這樣的數(shù)學表達式(函數(shù)式)就稱為經(jīng)濟模型，或經(jīng)濟的數(shù)學模型。

　　二、數(shù)學經(jīng)濟建模及其重要性

　　數(shù)學經(jīng)濟建模是對客觀經(jīng)濟現(xiàn)象進行總體概述，并采用模型方式體現(xiàn)各種經(jīng)濟現(xiàn)象中各個要素間的相互數(shù)量關系，是經(jīng)濟研究中比較重要的方法。其本質就是把錯綜復雜的實際經(jīng)濟問題用數(shù)字、字母和其他數(shù)學符號形成的不等式、或等式以及圖像、圖表、框圖等數(shù)學語言簡化、抽象為合理的數(shù)學結構的過程。應用數(shù)學去解決各類實際經(jīng)濟問題時，建立數(shù)學經(jīng)濟模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。無論是建立數(shù)學經(jīng)濟模型，還是運用模型對有關經(jīng)濟問題進行定量研究分析，都需要豐富的數(shù)學知識，比如數(shù)學中的線性代數(shù)、數(shù)學分析、常微分方程、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、模糊數(shù)學等知識就必不可少。然而縱觀現(xiàn)展史得知，經(jīng)濟發(fā)展的速度與數(shù)學經(jīng)濟建模具有緊密的聯(lián)系。在經(jīng)濟決策定量化、科學化呼聲越來越高漲的今天，數(shù)學經(jīng)濟建模已經(jīng)廣泛運用于各個經(jīng)濟活動之中。比如，漢森、�？怂箖晌唤�(jīng)濟學家用IS—LM模型對凱恩斯的有效需求理論進行了較為完善的闡述，不僅如此，凱恩斯主義的經(jīng)濟政策即財政政策和貨幣政策的分析，也是圈繞IS—LM模型而展開的。因此，IS—LM模型是凱恩斯主義宏觀經(jīng)濟學的核心，是數(shù)學和經(jīng)濟學有機結合的經(jīng)典之作。再比如，在實際生產(chǎn)、營銷中，生產(chǎn)商可以按照客戶提出的產(chǎn)品質量、數(shù)量、交貨期、交付地點、交付方式等需求，運用快速報價系統(tǒng)(按照生產(chǎn)商各種資源、生產(chǎn)成本、產(chǎn)品生產(chǎn)流程以及客戶要求等數(shù)據(jù)建立數(shù)學經(jīng)濟模型)與客戶進行直接交流和溝通。

　　三、構建經(jīng)濟數(shù)學模型的方法和步驟

　　數(shù)學模型廣泛運用在經(jīng)濟研究領域中，包括政策評價、經(jīng)濟預測、結構分析等多方面。經(jīng)濟政策評價包括理論分析和實踐分析兩個方面。理論分析包括研究分析、評價政策的效果，并對不合理的部分進行修改補充，以更加符合經(jīng)濟規(guī)律的要求。實踐分析主要是分析政策所產(chǎn)生的政治的、經(jīng)濟的、社會的實際效果，并對原政策方案進行檢驗、修改、完善。在進行政策目標評價時，通過對相互矛盾的目標進行綜合分析，制定出這些目標在一定條件下能相互協(xié)調的宏觀經(jīng)濟政策和微觀經(jīng)濟政策，其使用的研究分析方法有IS—LM模型、脈沖響應函數(shù)、方差分解等;經(jīng)濟預測是在對一定時期的客觀經(jīng)濟活動過程進行深入調查的基礎上，運用各種科學的方法，對掌握的經(jīng)濟信息加以分析研究后，并評估和預測未來經(jīng)濟活動發(fā)展狀況及變化趨勢，其使用的研究分析方法有時間數(shù)列法、指標分析法、因素分析法等;結構分析是經(jīng)濟研究的重要內(nèi)容，它是對經(jīng)濟現(xiàn)象中各種變量之間的關系進行全面研究，是當一個變量或幾個變量出現(xiàn)變化時，是否會對其他變量以及經(jīng)濟體系產(chǎn)生影響所進行研究分析。其使用的研究分析方法有乘數(shù)分析、彈性分析以及比較靜力分析等。

　　一般而言，針對經(jīng)濟研究問題，建立一個科學合理的數(shù)學模型主要包括以下步驟：(1)全方位了解各種實際問題和與問題相關的其他各種知識; (2)按照研究的目標和任務，針對研究的現(xiàn)象進行全方位、多層次的調查研究，盡可能獲得更多的數(shù)據(jù)信息，并對各項數(shù)據(jù)進行正確分組;(3)把研究的實際問題進行抽象、簡化，確定模型中各種影響因素，并分析出重要因素，使用參數(shù)和數(shù)量來表達這些因素。采用數(shù)學知識來描繪問題中變量參數(shù)之間的聯(lián)系，初步形成數(shù)學關系式?譻?訛;(4)進一步簡化、合并數(shù)學關系，最后構建成數(shù)學模型;(5)運用總結分析得出的數(shù)據(jù)，使用有關數(shù)學方式計算出所建立的模型中參數(shù)的估計值，進而明確模型;(6)偏差分析所確定的模型闡述，將模型結論與實際測量數(shù)據(jù)進行對比分析，以驗證模型是否跟實際問題相符合。如果相差甚遠，就必須進一步調整修改模型，在按照以上程序再進行一次，直到構建完成的模型符合實際問題。

　　四、數(shù)學模型在經(jīng)濟研究中的應用舉例

　　本文以彈性分析和線性規(guī)劃為例，體現(xiàn)數(shù)學建模在經(jīng)濟研究過程中的重大作用。

　　案例1：彈性分析模型。彈性是一個數(shù)學概念，為相對變化率，即是相互依存的一個變量對另外一個變量變化所表現(xiàn)出來的反應程度。

　　彈性的數(shù)學含義是自變量變化1%所引起因變量變化的百分數(shù)。由比例學分析得知，彈性是一種不借助其他任何單位的計量方法，即是無量綱的。把彈性理論用于經(jīng)濟研究領域，能夠為經(jīng)濟研究提供有效的方法。需求價格彈性就是數(shù)學彈性分析模型運用于經(jīng)濟研究中具體體現(xiàn)。

　　E1(100)=-2，彈性系數(shù)為2。

　　經(jīng)濟含義為：當價格是100元時，如果價格提升1%，則需求量將會降低2%。進一步講，因彈性系數(shù)大于1，即需求量的變化率大于價格的變化率，故需求量對于價格的變化率是比較敏感的，也稱需求富有彈性或高彈性。

　　案例2：0-1線性規(guī)劃模型。它是為解決實際優(yōu)化問題的所謂分派一類問題而產(chǎn)生的，下面舉例說明其數(shù)學模型是如何建立的。

　　某企業(yè)計劃招收m個崗位，人力資源管理部門需要從n個應聘者中招收m個工作人員(n≥m)。企業(yè)規(guī)定每個崗位只需要一名工作人員，工作人員只需要專職做一件工作，通過測試，第i個工作人員做j件工作的效率為Cij，問應該招收哪些人員，怎樣分配工作才能獲得最佳的效益。

　　解答：設xij=1代表第i個應聘人員只做第j件工作，xij=0代表第i個應聘人員不做第j件工作(i=1，2，3.....;j=1，2，3，.....)，然后其線性規(guī)劃模型為：

　　上述模型中，由于決策變量取值只是0或者1，因此該模型為0—1規(guī)劃，是整數(shù)規(guī)劃的特例。

　　此外，數(shù)學模型運用到經(jīng)濟研究過程中的案例較多，比如運用概率分布構建預期收益模型、運用微分方程構建經(jīng)濟增長模型、運用微積分構建最優(yōu)化價格模型、利用期望值法解決a風險型決策問題、運用Shapley值法建立收益合理分配模型等。

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