隱馬爾可夫模型估計(jì)的新方法及應(yīng)用案例

　　內(nèi)容提要 隱馬爾可夫模型廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、金融及大數(shù)據(jù)領(lǐng)域。 目前，模型估計(jì)的主要 方法是基于極大似然估計(jì)的 Viterbi 算法。 本文從隨機(jī)過(guò)程的常返理論出發(fā)，給出了隱馬爾可夫模型參數(shù)估計(jì)的新方法。 首先，利用從同一狀態(tài)的觀察值出發(fā)到固定點(diǎn)的首中時(shí)有相同分 布的原理，給出隱狀態(tài)個(gè)數(shù)的估計(jì);再根據(jù)首中時(shí)數(shù)學(xué)期望與平穩(wěn)分布的關(guān)系得到平穩(wěn)分布和發(fā)射概率的估計(jì);最后以上述方法為基礎(chǔ)，完成了隱馬爾可夫模型的兩個(gè)應(yīng)用研究：構(gòu)建個(gè)性化推薦系統(tǒng);揭示我國(guó)經(jīng)濟(jì)周期不同階段間的轉(zhuǎn)換規(guī)律。 本文提出的新估計(jì)方法可以大幅減少計(jì)算復(fù)雜度，是 Viterbi 算法的有益補(bǔ)充。

　　關(guān)鍵詞 隱馬爾可夫模型 推薦系統(tǒng) 經(jīng)濟(jì)周期

　　一、引言

　　隱馬爾可夫模型是混合模型的推廣(Bickel et al.，1998)， 金融領(lǐng)域則常稱(chēng)之為馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn) 換模型;它是迄今為止應(yīng)用最為廣泛的統(tǒng)計(jì)模型， 尤其在語(yǔ)音識(shí)別(Rabiner，1989)、人臉識(shí)別(Shang & Chan，2009)、圖像處理等大數(shù)據(jù)領(lǐng)域(Aghdam， 2019)。

　　經(jīng)濟(jì)論文投稿刊物：《統(tǒng)計(jì)研究》(月刊)是由中國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì);國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究所主辦的統(tǒng)計(jì)科學(xué)刊物。本刊在廣大作者、讀者的關(guān)心支持下，逐漸形成了自己的辦刊特色，成為統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域最具權(quán)威性的理論刊物。

　　最近，經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的建模分析也大量應(yīng)用了 隱馬爾可夫模型(李正輝、鄭玉航，2015)。 有限狀態(tài)的隱馬爾可夫模型可以理解成裝有 不同顏色球的一組罐子(Jeff，2006)。 每次抽樣時(shí) 按初始分布選擇第一個(gè)罐子，并從中取出一球;在 第一次罐子的基礎(chǔ)上選取第二個(gè)罐子， 第二次選 取的罐子只與前一次選的罐子有關(guān)， 在第二個(gè)罐子里取出第二個(gè)球，如此繼續(xù)。 通常，罐子是看不 到的，所有的統(tǒng)計(jì)推斷只能通過(guò)觀察值(選取的球 序列)完成。

　　本文將在隱狀態(tài)個(gè)數(shù) (罐子數(shù)) 未知的條件 下，通過(guò)可觀測(cè)變量序列，研究隱馬爾可夫模型的 參數(shù)或非參數(shù)估計(jì)方法， 即從觀察序列出發(fā)估計(jì) 模型的參數(shù)或分布(學(xué)習(xí)問(wèn)題)。 眾多學(xué)者對(duì)這一 問(wèn)題做了大量研究 (劉鶴飛等，2017)。 Douc & Moulines(2012)證明了隱馬爾可夫模型參數(shù)的極 大似然估計(jì)是強(qiáng)相合的， 但在隱狀態(tài)數(shù)未知的條 件下，似然函數(shù)較難有顯式表達(dá)。

　　De Castro et al. (2016)、Gassiat & Rousseau(2014)利用貝葉斯方 法對(duì)隱馬爾可夫模型進(jìn)行估計(jì)， 但這一方法在利 用對(duì)數(shù)似然比時(shí)加了一項(xiàng)懲罰函數(shù)， 且模型估計(jì)的效果嚴(yán)重依賴(lài)懲罰函數(shù)的選擇。 本文從馬爾可 夫過(guò)程的常返理論出發(fā)給出了隱馬爾可夫模型的 所有參數(shù)估計(jì)。 實(shí)際應(yīng)用中，Viterbi 算法是隱馬爾 可夫模型的基本算法， 它的統(tǒng)計(jì)原理是極大似然 估計(jì)， 算法設(shè)計(jì)中基于向前向后步優(yōu)化的 EM 準(zhǔn) 則，逐步擬合模型參數(shù);但這一算法也繼承了 EM 算法的缺陷：耗時(shí)巨大，且估計(jì)的參數(shù)可能是局部 最優(yōu)的。

　　本文給出的新估計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確率高， 計(jì)算復(fù)雜度低。 常規(guī)的 Viterbi 算法隨機(jī)選擇隱狀 態(tài)個(gè)數(shù)，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)移矩陣的合并或分解，最后對(duì) 各參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)， 要達(dá)到理想的收斂值 通常要進(jìn)行上萬(wàn)次的迭代(樓振凱，2019)，相比之 下，我們的方法目標(biāo)明確，算法簡(jiǎn)捷。 本文的另一貢獻(xiàn)是給出了基于新估計(jì)方法的 個(gè)性化推薦系統(tǒng)。 推薦系統(tǒng)常用來(lái)幫助使用者在 眾多產(chǎn)品中盡快發(fā)現(xiàn)其感興趣的目標(biāo)， 它在各網(wǎng) 絡(luò)平臺(tái)大量使用，如 Google.com，Amazon.com 和我 國(guó)的百度、阿里巴巴等。 針對(duì)不同對(duì)象的個(gè)性化推 薦系統(tǒng)更是重點(diǎn)建設(shè)對(duì)象，Google 和百度近年來(lái) 在這方面取得了長(zhǎng)足進(jìn)步， 但準(zhǔn)確度更高的個(gè)性 化推薦系統(tǒng)一直在建設(shè)中。

　　本文將用戶(hù)以往信息 視為一隱馬爾可夫鏈， 基于此構(gòu)建用戶(hù)的個(gè)性化 推薦系統(tǒng)。 在 Grouplens Reach 數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)表 明，本文方法的推薦準(zhǔn)確率優(yōu)于其他推薦算法。 實(shí)證分析部分根據(jù) GDP 增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)，分析了 我國(guó)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行周期。 經(jīng)濟(jì)周期理論由來(lái)已久，不 同周期的劃分、 識(shí)別和監(jiān)測(cè)是經(jīng)濟(jì)周期理論研究 的一個(gè)核心問(wèn)題; 經(jīng)濟(jì)變量通常表現(xiàn)出不穩(wěn)定性 及非線性關(guān)系， 識(shí)別和監(jiān)測(cè)經(jīng)濟(jì)周期的波動(dòng)主要 采用的是隱馬爾可夫模型 (馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)換模 型)。

　　傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)周期理論將經(jīng)濟(jì)周期劃分為經(jīng)濟(jì) 的擴(kuò)張階段和收縮階段(二區(qū)制)，在經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中 兩者交替循環(huán)，從而形成一定的波動(dòng)規(guī)律。 部分國(guó) 外學(xué)者將經(jīng)濟(jì)周期分為三區(qū)制或四區(qū)制; 國(guó)內(nèi)學(xué) 者在研究我國(guó)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)規(guī)律時(shí)， 通常人為設(shè)定 為二區(qū)制或三區(qū)制。 本文認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)周期的區(qū)制劃 分應(yīng)充分考慮各個(gè)國(guó)家的不同特點(diǎn)， 由具體的經(jīng) 濟(jì)數(shù)據(jù)決定。 我們將利用隱馬爾可夫模型及估計(jì) 新方法， 確定我國(guó)自 2000 年第一季度至 2019 年 第四季度經(jīng)濟(jì)周期的變化及經(jīng)濟(jì)周期不同階段間 的轉(zhuǎn)換概率。

　　二、模型描述

　　隱 馬 爾 可 夫 模 型 是 一 個(gè) 雙 變 量 隨 機(jī) 過(guò) 程 {(Xn，Yn)，n≥1｝，其中{Xn，n≥1｝是有限狀態(tài)的馬 爾可夫鏈;對(duì)給定的 Xn，Yn 關(guān)于其他變量獨(dú)立。 通 常，馬爾可夫鏈?zhǔn)请[藏不見(jiàn)的，觀察值是 Yn 序列。 以下給定一些記號(hào)及假設(shè)， 設(shè)馬爾可夫鏈 {Xn，n≥1｝的狀態(tài)空間為 S={x1，x2 ... xS｝，轉(zhuǎn)移概率 矩陣為 As×s。 本文有三個(gè)假設(shè)。 假設(shè) 1:馬爾可夫鏈{Xn，n≥1｝是遍歷的。

　　因?yàn)闋顟B(tài)空間有限，這一條件并不嚴(yán)苛，幾乎 所有研究隱馬爾可夫模型理論性質(zhì)及統(tǒng)計(jì)推斷的 文章都有此要求， 滿(mǎn)足這一要求的馬爾可夫鏈?zhǔn)?正常返，且有唯一的平穩(wěn)分布。 假設(shè) 2:馬爾可夫鏈{Xn，n≥1｝的初始分布為 其平穩(wěn)分布。 實(shí)際應(yīng)用中并不要求隱馬爾可夫模型有平穩(wěn) 的初始分布，因?yàn)閷?duì)一個(gè)常返的馬爾可夫鏈，經(jīng)歷 一段時(shí)間后即可平穩(wěn)， 所以通常的做法是去除前 若干個(gè)觀察值，即能達(dá)到要求。

　　設(shè)給定 Xn=xk 時(shí)，Yn 的分布 μk 通常被稱(chēng)為發(fā) 射概率。 本文對(duì) Yn 變量的分布類(lèi)型不做限制，可 以是離散的，也可以連續(xù)，但具有如下假設(shè)： 假設(shè) 3:每個(gè) μk 的取值范圍不相重疊。 在隱狀態(tài)個(gè)數(shù)的估計(jì)中， 只要求每個(gè)狀態(tài)下 的觀察值不完全重疊即可， 為了其他參數(shù)的估計(jì) 更方便，表達(dá)更簡(jiǎn)潔，我們?cè)鰪?qiáng)了假設(shè) 3。

　　下面給 出一個(gè)隱馬爾可夫模型的常用例子。 例(正態(tài)分布的混合)假設(shè)隱狀態(tài)個(gè)數(shù)為 2，A 是不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率矩陣，兩個(gè)隱狀態(tài)所對(duì) 應(yīng)的發(fā)射變量分別服從 N(μ(1)，σ2 )和 N(μ(2)，σ2 ) 的正態(tài)分布。此時(shí)，Yn 是具有不同期望但同方差的 二個(gè)正態(tài)分布的混合; 在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域則是生成機(jī)制 為 Yn=μ(k)+σεi 的馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)換模型，其中 εi 為白噪聲。 這一模型也常用于模擬受噪音干擾 的信號(hào)傳輸系統(tǒng)。

　　三、隱狀態(tài)個(gè)數(shù)的估計(jì)

　　馬爾可夫鏈{Xn，n≥1｝的狀態(tài)空間為 S={x1，x2 ... xS｝，s 即為隱狀態(tài)個(gè)數(shù)，或稱(chēng)之為隱馬爾可夫模 型的階。 我們分兩種情況討論，首先假設(shè)觀察值空 間有限，設(shè)其為 O={o1，o2 ... om｝。 {y1，y2 ... yn｝是來(lái)自隱馬爾可夫模型 {(Xn，Yn)，n≥1｝ 的一個(gè)觀察序 列，令 τij 為 Yn 從 oi 出發(fā)到 oj 的首中時(shí)，即 τij=inf{t>0，Y0=oi，Yt=oj｝。 令 τ=(τij)m×m 及 Eτ=(Eτij)m×m 分別為首中時(shí)矩陣及 其期望。 如果 oi 和 oj 來(lái)自同一個(gè)罐子，則對(duì)任意的 ok，τik 和 τjk 同分布，故有 Eτik=Eτjk。

　　對(duì)一個(gè)足夠長(zhǎng)的觀察 序列，因?yàn)槌７敌�，可以得到�?dú)立同分布的首中時(shí) 序列{τ n ik， n≥1｝和{τ n jk， n≥1｝，分別用它們的均值 代替數(shù)學(xué)期望，得到矩陣 τ=(τij)m×m，通過(guò)對(duì)(τij)m×m 的 行或列的聚類(lèi)即可獲得 HMM{(Xn，Yn)，n≥1｝的階 的估計(jì)s贊 。 按 Zheng 等(2019)，s贊是 s 的強(qiáng)相合估計(jì) 量。 觀察值也同時(shí)聚為s贊 類(lèi)，分別為{y11，y12...y1n1 ｝... {ys 贊 1，ys 贊 2...ys 贊 n1 ｝類(lèi)，且對(duì)應(yīng)的狀態(tài)序列估計(jì)也同步完成。 現(xiàn)在考慮發(fā)射變量為連續(xù)分布的情形，此時(shí)觀 察值仍為{y1，y2 ...yn｝，但若 μk 為連續(xù)型分布函數(shù)時(shí)， τij 可能是無(wú)窮大，此時(shí)，我們將觀察值分成若干個(gè) 小區(qū)間(高維時(shí)則分成區(qū)塊)，令其分別為 A1，A2... An，按上面步驟，仍可完成對(duì)返回時(shí)的聚類(lèi)，以獲得 階的估計(jì)值s贊及觀察值對(duì)應(yīng)的狀態(tài)序列。

　　上述聚類(lèi)估計(jì)的原理是同一類(lèi)的觀察值到某 一固定觀察值的首中時(shí)是同分布的， 因而具有相 同的數(shù)學(xué)期望， 然后用首中時(shí)的樣本均值代替其 數(shù)學(xué)期望進(jìn)行聚類(lèi)。 根據(jù)中心極限定理，聚類(lèi)的閾 值為 n-1/2 的常數(shù)倍，其中的 n 是樣本容量。 實(shí)際使 用中，我們選取歐氏距離作為距離函數(shù)，閾值為 3 倍樣本均方差。 這種方法的好處是適用于高維發(fā)射分布的隱 馬爾可夫模型，因?yàn)槭前葱芯垲?lèi)，只要求每個(gè)狀態(tài) 的觀察值不完全相同即可;同時(shí)計(jì)算復(fù)雜度低，便 于計(jì)算機(jī)操作，是常用 Viterbi 算法的重要補(bǔ)充。

　　四、其他參數(shù)的估計(jì)

　　當(dāng)觀察空間離散時(shí)， 由馬爾可夫過(guò)程常返理 論知，平均返回時(shí)間是平穩(wěn)分布的倒數(shù)，據(jù)此可以 估計(jì)平穩(wěn)分布。 當(dāng)觀察空間連續(xù)時(shí)，我們?nèi)钥砂瓷?述同樣方法得到平穩(wěn)分布的估計(jì)值， 但發(fā)射分布 的估計(jì)要改為核密度估計(jì)。

　　五、數(shù)值模擬

　　本文首先根據(jù)隱馬爾可夫模型的定義生成一 個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)集， 然后按照上述方法獲得隱狀態(tài)個(gè) 數(shù)，初始分布，轉(zhuǎn)移概率及發(fā)射概率的估計(jì)，以驗(yàn) 證上述估計(jì)量的有效性。 所有試驗(yàn)環(huán)境為配備 core i5 和 8 GB RAM 的 windows 7 PC 機(jī)。

　　六、基于新估計(jì)方法的網(wǎng)絡(luò)推薦系統(tǒng)

　　根據(jù)用戶(hù)以往信息， 打造個(gè)性化推薦系統(tǒng) (Aghdam，2019) 是各大網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)努力建設(shè)的重要 目標(biāo)。 國(guó)際最大的在線電影租賃公司 Netflix 不定 期地主辦國(guó)際推薦系統(tǒng)大賽，推薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確率每 提高 1%，都將獲得豐厚獎(jiǎng)金。阿里巴巴公司也設(shè)計(jì) 了類(lèi)似的“金阿里”競(jìng)賽。Google 公司推薦系統(tǒng)深受全球好評(píng)， 近期百度的推薦系統(tǒng)也取得了長(zhǎng)足進(jìn) 步。 本文基于隱馬爾可夫模型建立個(gè)性化推薦系 統(tǒng)，并根據(jù)實(shí)證結(jié)果再次驗(yàn)證本文估計(jì)的效果。

　　(一)數(shù)據(jù)來(lái)源 因?yàn)?Netflix 數(shù)據(jù)集無(wú)法獲取，我們選取Grouplens Reach 數(shù)據(jù)集建立電影推薦系統(tǒng)。Grouplens Reach 包括 17770 部電影和 480189 個(gè)用戶(hù)的相 關(guān)數(shù)據(jù)，其中包括用戶(hù)基本信息，用戶(hù)每次觀看電 影的類(lèi)型，電影名，觀看時(shí)間以及對(duì)所看電影的打 分。 我們利用 Grouplens Reach 數(shù)據(jù)集，驗(yàn)證上文 方法的有效性。

　　(二)模型建立 本文選取數(shù)據(jù)集中觀看電影數(shù)超過(guò) 2000 部的 用戶(hù) 44 名， 將每個(gè)用戶(hù)觀看的電影類(lèi)型作為觀測(cè) 序列，觀測(cè)集包括喜劇、恐怖片、動(dòng)作片、浪漫劇、冒 險(xiǎn)片等 18 種電影類(lèi)型。 利用上文方法首先就每個(gè) 用戶(hù)構(gòu)建隱馬爾可夫模型：觀察值為該用戶(hù)的觀看 電影類(lèi)型，由此估計(jì)隱馬爾可夫模型的的隱狀態(tài)個(gè) 數(shù)，此時(shí)的隱狀態(tài)個(gè)數(shù)可理解為用戶(hù)的電影選擇偏 好(喜歡、不喜歡等);進(jìn)而各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率 和具體某個(gè)類(lèi)型的觀測(cè)值對(duì)應(yīng)的發(fā)射概率;最后根 據(jù)概率最大的原則給出推薦的電影類(lèi)型。

　　七、基于隱馬爾科夫模型對(duì)經(jīng)濟(jì)周期的實(shí)證分析

　　經(jīng)濟(jì)周期由經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的波峰、 波谷和運(yùn)行時(shí) 間確定，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有嚴(yán)格的定義;但對(duì)經(jīng)濟(jì)周期 不同階段(即隱狀態(tài)個(gè)數(shù)，也稱(chēng)為區(qū)制)的劃分則 有較大的主觀性，有二區(qū)制說(shuō)、三區(qū)制說(shuō)和四區(qū)制 說(shuō)。 經(jīng)濟(jì)周期研究中，由于區(qū)制數(shù)難以估計(jì)，通常 預(yù)先假定，然后通過(guò)某個(gè)準(zhǔn)則進(jìn)行模型選擇;但事 實(shí)上，區(qū)制個(gè)數(shù)是模型的決定性參數(shù)，它直接決定 模型的結(jié)構(gòu)和其他參數(shù)的構(gòu)成， 因而影響模型的 擬合效果和預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確率。

　　本文認(rèn)為區(qū)制個(gè)數(shù)應(yīng) 該由經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)本身的結(jié)構(gòu)決定。 GDP 是國(guó)家經(jīng)濟(jì)狀況的直接反映， 本文選取 GDP 作為經(jīng)濟(jì)運(yùn)行指標(biāo)， 構(gòu)建發(fā)射分布為高斯分 布的隱馬爾可夫模型， 其中的隱狀態(tài)對(duì)應(yīng)的是不 同的經(jīng)濟(jì)區(qū)制， 而隱狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率即為不 同區(qū)制間相互轉(zhuǎn)換的可能性。 數(shù)據(jù)的預(yù)處理方法 為：根據(jù)實(shí)際 GDP 數(shù)據(jù)，計(jì)算出它們的同比增長(zhǎng) 率。 樣本區(qū)間為 2000 年 1 季度至 2019 年 4 季度， 數(shù)據(jù)來(lái)源于銳思金融數(shù)據(jù)庫(kù)。

　　八、結(jié)論

　　本文研究了隱馬爾可夫模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用。 首先利用常返理論給出了隱狀態(tài)個(gè)數(shù)的估計(jì)， 在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步估計(jì)了平穩(wěn)分布和發(fā)射概率， 進(jìn)而利用加權(quán)極大似然估計(jì)得到轉(zhuǎn)移概率的估計(jì)。 數(shù)據(jù)模擬的結(jié)果表明新方法能有效識(shí)別隱馬 爾可夫模型的結(jié)構(gòu)。 隱馬爾可夫模型識(shí)別中， 隱狀態(tài)個(gè)數(shù)的估計(jì) 是模型可識(shí)別的標(biāo)志， 也是其他參數(shù)準(zhǔn)確估計(jì)的前提。 我們提出了一種新的隱狀態(tài)估計(jì)方法，不同于現(xiàn)在流行的 Viterbi 算法， 我們的方法目標(biāo)明確，算法簡(jiǎn)捷。 在其他參數(shù)的估計(jì)中，我們要求模型每個(gè)狀態(tài)的發(fā)射變量取值不相重疊， 這一條件過(guò)于嚴(yán)苛， 建議在本文隱狀態(tài)個(gè)數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上 結(jié)合 MCMC 方法估計(jì)其他參數(shù)，這將大大提高模 型適用范圍，同時(shí)降低計(jì)算成本。

　　數(shù)值模擬的結(jié)果表明：針對(duì)不同的發(fā)射變量， 本文方法均能準(zhǔn)確估計(jì)隱狀態(tài)個(gè)數(shù)， 平穩(wěn)分布的 估計(jì)也較為穩(wěn)健;發(fā)射變量為連續(xù)分布時(shí)，發(fā)射變 量的密度估計(jì)還有待提高。 我們基于 Grouplens Reach 數(shù)據(jù)集構(gòu)造了個(gè) 性化的電影推薦系統(tǒng)，與其他系統(tǒng)相比，隱馬爾可 夫模型的準(zhǔn)確率最為突出;同為隱馬爾可夫模型， 本文構(gòu)造的估計(jì)方法優(yōu)于現(xiàn)有算法。 實(shí)例應(yīng)用中，本文對(duì)我國(guó)的 GDP 實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)增 長(zhǎng)率建立隱馬爾可夫模型，分析了2000 年第一季度至 2019 年第四季 度期間內(nèi)我國(guó)經(jīng)濟(jì)周期區(qū)制個(gè)數(shù)及其相互轉(zhuǎn)化的 概率。 實(shí)證結(jié)果表明：此時(shí)間段我國(guó)經(jīng)濟(jì)周期呈現(xiàn) 兩區(qū)制，且經(jīng)濟(jì)運(yùn)行較為平穩(wěn)，區(qū)制間的轉(zhuǎn)換概率 較小。

　　參考文獻(xiàn)：

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　　作者：朱 斌 鄭 靜

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