淺析圓的標準方程的分層教學設計

　　[摘要]基于中職數(shù)學新課標的提出以及課程思政的大背景，五年專學生的數(shù)學課程不僅要授業(yè)，更要傳道。聚焦職教特色的數(shù)學核心素養(yǎng)，融入彰顯職教特色的課程思政元素，將立德樹人的根本任務落實到每堂數(shù)學課中，發(fā)展具有職教特色的素質教育功能。以五年專教材第三冊第七章第四課“圓的標準方程”為載體，合理利用教學資源，引導學生初步學會“用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維分析世界、用數(shù)學語言表達世界”。通過創(chuàng)設合理的問題情境，以知識為主線，設置不同難度的題型，層層推進教學，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學能力，以達到教學目標。

　　[關鍵詞]圓的標準方程;分層教學設計;數(shù)學核心素養(yǎng)

　　一、追憶解析幾何的浪漫歷史

　　17世紀，“我思故我在”的笛卡爾的幾何學推動了用坐標法研究平面幾何的熱潮，其中關于圓錐曲線的定義方式和方程的推導真是精彩紛呈。大家耳熟能詳?shù)哪�過于“笛卡爾坐標系”的平面直角坐標系以及在此基礎上建立的平面解析幾何。笛卡爾將幾何坐標體系公式化，因而被稱作是解析幾何之父。傳說，笛卡爾被瑞典王室聘請到皇宮做公主的家庭教師，講授數(shù)學和哲學。笛卡爾向公主介紹了他研究的新領域——直角坐標系，通過它，代數(shù)與幾何可以結合起來，也就是日后笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何的雛形。

　　在笛卡爾的帶領下，公主進入了奇妙的坐標世界，對曲線著了迷，他們每天朝夕相處，深度交流，一段美好的愛情在瑞典這個浪漫的國度悄然萌發(fā)。國王知道后，勃然大怒，笛卡爾被流放到了法國。笛卡爾在給公主寄出第13封信后，黯然離世。最后一封信上只有一個方程P=a(1-sinθ)，聰慧的公主看了一眼就明白了笛卡爾的紙短情長，著手把方程的圖形畫出來，一個心形圖案出現(xiàn)在眼前，這條曲線就是著名的“心形線”。

　　以上這種探究的方法激發(fā)了后人更多的思考和研究，在笛卡爾之前，幾何學在數(shù)學中一直占據(jù)最優(yōu)地位。解析幾何使代數(shù)和幾何在更高層次上進行一次新的融合，獲得了比代數(shù)更廣的意義和更高的地位。正如恩格斯對笛卡爾的評價：“數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學;有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學。”圓的標準方程是在學習了直線方程的基礎上，對曲線和方程的進一步探究，用笛卡爾數(shù)形結合的數(shù)學思想，在了解圓的幾何意義即到定點的距離等于定長的動點的軌跡基礎上，用平面直角坐標系把圓與圓的標準方程對應起來。利用代數(shù)給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次，從幾何研究轉移到代數(shù)研究。

　　二、提出問題與解答問題

　　我們的生活中有很多物體需要應用到圓，圓有其特性，需要我們去觀察和發(fā)現(xiàn)，加強對圓形的感性認知。例如，汽車的輪轂就不能是方形的，也不能是輪軸不對稱的圓形，只有輪軸是中心對稱的圓形輪轂才能讓汽車平穩(wěn)地跑起來。邏輯推理作為核心素養(yǎng)中很重要的一個要素，可以有效訓練學生的數(shù)學推理、解題能力。為了循序漸進地訓練學生的數(shù)學思維能力，教師要根據(jù)學生的實際認知能力通過有條理的引導，讓學生學會簡單的邏輯推理。

　　教師在教學“圓的標準方程”知識時，創(chuàng)設具有專業(yè)特色的問題情境，引發(fā)學生積極思考，對圓的認知從感性過渡到理性，教師通過演示推導圓的標準方程，提高學生的邏輯推理能力、數(shù)形結合的思維能力。設計教學過程，抽絲剝繭，層層遞進，使學生在教師的有效引導下，在自己動腦思考、動手演練的過程中逐漸形成一定的邏輯推理能力和數(shù)形結合的數(shù)學技能，讓邏輯推理這一重要的核心素養(yǎng)在課堂教學中落到實處，并得以達成。

　　(一)結合專業(yè)特點，創(chuàng)設預習情境

　　結合不同專業(yè)的學科特點，合理創(chuàng)設問題情境，可以在課前準備階段激發(fā)學生的學習熱情，在做中學，在做中回顧舊知，比如數(shù)字媒體高職專業(yè)可以讓學生在課前制作以圓為元素的手抄報，鼓勵學生博覽群書，自主查閱數(shù)學史的相關資料，運用教育機智，融入思政元素。讓學生利用自己擅長制作視頻的專業(yè)技能，拍攝生活中圓的照片，結合課本上掃描預習的圓的標準方程的形成過程，加入大家喜聞樂見的元素，制作生動有趣的教學預習視頻。通過結合專業(yè)特色的預習方式，發(fā)現(xiàn)自己在知識上的盲點，積極思考，拓展思路，提升思維品質的同時，體驗數(shù)學的生活美。

　　(二)推演方程，解決系列問題

　　1.問題引入初識概念圓的幾何意義：平面內到定點的距離等于定長的動點的軌跡叫作圓，定點叫作圓心，定長叫作半徑。在講解這個概念時，教師可以提問學生手抄報中的圓大家是怎么畫的?大家可以自己動手畫圓嗎?引發(fā)學生思考的同時，教師可以用教具圓規(guī)，在黑板上畫圓，教師不能自己畫圓，應該以一邊發(fā)問一邊描述如何用尺規(guī)做圓的形式，在黑板上畫出圓。教師將圓規(guī)的其中一個腳放在固定點C，另一個腳張開一定的角度，緊貼黑板轉動圓規(guī)一周，這時候形成的圖形會是什么?由學生回答形成的圖形是圓。

　　然后再由教師給出圓的幾何意義即平面內到定點的距離等于定長的動點的軌跡叫作圓，定點叫作圓心，定長叫作半徑。這樣的提問引發(fā)思考的導入方式有利于引發(fā)學生自主思考，不僅復習鞏固了初中學過的圓的幾何意義，還為下一步建立直角坐標系推導圓的標準方程做準備。符合學生從感性認知到理性認知的思維過程，學生在教師尺規(guī)作圖的引導下，感受圓的形成過程，認識圓，一步步培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng)。

　　在推導圓的標準方程的過程中可以運用知識遷移，利用學過的兩點間的距離公式教師板書，師生共同推導圓的標準方程。設圓心坐標為C(a，b)，半徑為r，點M(x，y)為圓上的任意一點，|MC|=r，學過的兩點間的距離公式是什么?由學生回答(x2-x1)2■+(y2-y1)2，運用學過的兩點間距離公式，得(x-a)2■+(y-b)2=r，將上式兩邊平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2。方程叫作以點C(a，b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程。強調圓的標準方程是用來確定圓的位置和大小的，其中圓心確定位置，半徑確定大小，培養(yǎng)學生從直觀想象到抽象出方程的核心素養(yǎng)。

　　當圓心坐標為原點O(0，0)時，半徑為r的圓的標準方程是什么?引發(fā)學生思考，教師板書，應用學過的代入法，把原點O(0，0)的坐標代入圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2，此時，圓的標準方程為x2+y2=r2。通過引導學生觀察直角坐標系中的圓，鍛煉學生數(shù)形結合的技能，利用學過的數(shù)學公式推導圓的標準方程，層層推入，加深學生對所學數(shù)學公式的運用和聯(lián)想，一步步培養(yǎng)學生有條理地觀察問題，進行推理的邏輯思維能力。

　　在記法上，教師幫助學生分析圓的標準方程的結構特征，可以運用口訣識別和記憶圓的標準方程，“兩個減號，兩個平方的和等于平方”。強調兩個小括號里面是減號，圓心坐標a，b的值可以是正數(shù)、零或者負數(shù)。圓的標準方程推導過程的講解與記憶方程不僅能鍛煉學生的數(shù)學思維，層層推入，同時還培養(yǎng)了學生細致觀察問題的能力，進一步培養(yǎng)學生用代數(shù)的思想解決幾何問題的思維習慣。

　　2.基礎問題層層探索

　　問題1：已知圓的圓心和半徑，如何求圓的標準方程?首先，教師給出一道例題：求以點C(-2，0)為圓心，r=3為半徑的圓的標準方程。教師通過提問的方式，學生口答，教師板書寫出圓的標準方程(x+2)2+y2=9。接著教師趁熱打鐵，提出讓學生到黑板上寫出圓的標準方程，根據(jù)下列條件，求出圓的標準方程。

　　練習1.圓心C(-1，2)，半徑r=2;練習2.圓心C(0，3)，半徑r=1。根據(jù)以往的教學經驗，在解題的過程中，練習1，有一小部分學生可能會把圓的標準方程寫成(x-1)2+(y-2)2=4，教師可以針對這個問題，給出兩個方程(x-1)2+(y-2)2=4與(x+1)2+(y-2)2=4讓學生選出正確的方程，這種對比答案的方式有助于學生發(fā)現(xiàn)自己的易錯點，幫助學生養(yǎng)成細心、認真的學習習慣。問題2：已知圓的標準方程，能否寫出圓心坐標和半徑?首先，教師先給出一道例題：根據(jù)圓的標準方程(x-2)2+(y+1)2=5寫出圓心和半徑。

　　學生基本都具備通過觀察圓的標準方程寫出圓心和半徑的能力，學生寫出的圓心坐標和半徑有以下幾種：圓心(2，1)，圓心(2，-1)，半徑■5，半徑5。我們會發(fā)現(xiàn)學生的易錯點在于沒有認真觀察識記圓的標準方程的結構，(x-a)2+(y-b)2=r2。小括號里面是兩個減號，等號右邊是半徑的平方不是半徑。顯然學生對圓的標準方程的結構觀察還不夠細致，這時候教師如果換一種講解方式，直接給出以上幾種結論，提問引發(fā)學生通過對比進行思考，學生的印象會更深刻，也更容易記住正確結構。這時候可以要求學生認真觀察，勤于思考，在做題時訓練學生養(yǎng)成嚴謹、認真的習慣。通過以上兩個問題，學生初步理解了圓心坐標和圓的半徑與圓的標準方程的對應關系。

　　問題3：通過兩道例題的講解，同學們是否可以小試牛刀，檢驗一下自己對這堂課重點內容的掌握程度?根據(jù)上課學生反映的情況，基本上所有學生都能比較好地掌握教師之前講授的兩種類型的例題，即已知圓心和半徑可求圓的標準方程，已知圓的標準方程也可以準確寫出圓心和半徑�；�于以上學情分析，教師可以將學生分成四組，進行搶答，對題目的設置可以充分考慮到圓心落在平面直角坐標系四個象限內以及落在坐標軸上的情況，適當增強題目的復雜性。教師提出根據(jù)下列圓的標準方程，找出圓心和半徑，(x+1)2+(x+3)2=4，(x-3)2+(y+4)2=16，(x-1)2+y2=3。學生通過小組合作、組間競賽，培養(yǎng)了合作精神，收獲了學習成就感。

　　問題4：能否通過觀察幾何畫板中平面直角坐標系內的圓，寫出圓的標準方程?數(shù)形結合的能力是解析幾何中很基礎的數(shù)學能力，學生畫圖少，從直觀想象中抽象出方程的能力相對薄弱，在學生已經對圓的標準方程的結構爛熟于心的基礎上，教師利用多媒體手段，讓學生觀察幾何畫板中平面直角坐標系內的圓，寫出圓的標準方程，初步培養(yǎng)學生的觀察能力以及數(shù)形結合能力，教師可以通過發(fā)問的方式引發(fā)學生思考，圓的標準方程用來確定圓的哪兩個條件?

　　部分學生會回顧起問題1中提過的位置和大小，這時候教師繼續(xù)發(fā)問，圓心在第幾象限?通過觀察半徑是幾個單位長度?大部分學生都能說出圓心在第三象限，教師繼續(xù)問那圓的標準方程中小括號內這時候是加號還是減號?大部分學生回答負負得正，是加號，最后大家一起寫出圓的標準方程(x+4)2+(y+2)2=9，教師通過層層設問，引導學生共同探索，避開易錯點，通過數(shù)形結合的思維方式寫出正確的圓的標準方程，進一步理解了圓和圓心坐標和圓的標準方程之間的對應關系。

　　(三)問題提升，分層教學

　　問題6：求與圓(x-2)2+(y-1)2=4關于x軸對稱的圓的標準方程。分析：此題本身的難度并不大，考查學生知識的綜合能力。測試學生對知識進行聯(lián)系的能力，可以鼓勵初中數(shù)學基礎較好的學生在限定時間內完成，培養(yǎng)學生的學習成就感和學習自信心。高職班的部分學生看到題目就馬上想到要畫圖，教師抓住這個契機，鼓勵學生通過數(shù)形結合的方式來分析題目，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思維能力實現(xiàn)分層教學。對數(shù)學基礎一般的學生，在教師的啟發(fā)下如果能想出解題思路，也能品嘗到跳一跳就能摘到桃子的喜悅。教師發(fā)問：圓心和半徑哪一個要素用來確定圓的位置呢?學生很容易就想到是圓心。教師接著發(fā)問，已知圓的圓心坐標是什么?對這個問題，學生已經很熟悉，可以馬上答出是(2，1)。

　　教師繼續(xù)追問：根據(jù)已知條件如何確定圓心，兩個圓關于軸對稱，那么圓心關于軸對稱嗎?關于軸對稱的點的特征是什么?學生回答，橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，所求圓的圓心是(2，-1)，學生產生了進一步探索的樂趣。于是教師繼續(xù)追問：那確定圓的另一個要素就是半徑，該怎么確定呢，半徑的大小有變化嗎?學生回想起初中學過的軸對稱圖形的特征，很快能得出半徑不變的結論半徑是2，于是，大家一起寫出該圓的標準方程(x-2)2+(y+1)2=4。教師通過層層設問幫助學生厘清思路，在步步推進學生思考解題的過程中訓練學生數(shù)形結合的技能以及主動思考和知識聯(lián)想的能力，培養(yǎng)學生邏輯推理的核心素養(yǎng)。

　　(四)反思總結

　　哈爾斯說：“問題是數(shù)學的心臟。”教師通過設問引發(fā)學生思考的教學方式，因材施教，創(chuàng)設合理的問題情境，符合數(shù)學的科學性。因人施教，創(chuàng)設不同的問題情境，實現(xiàn)分層教學。讓學生的數(shù)學思維在有效的問題情境中得到訓練，讓學生在每堂課中學有所得，所得不僅是知識，更多、更深的是在貫穿知識學習的過程中，團結互助的精神、良好的數(shù)學學習習慣以及嚴謹?shù)臄?shù)學學科思維品格的養(yǎng)成。數(shù)學是思維的體操，更是道德品質的體操，進一寸有進一寸的歡喜，多鼓勵，多引導，學生總會有收獲。

　　參考文獻：

　　[1]俞新龍.至少類問題的直接解答[J].數(shù)理化解題研究，2021(13)：31-33.

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　　[3]劉煥新.分層教學解密[M].北京：世界知識出版社，2016-08.

　　作者：鄭昱

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